Zustandsraummodelle noch einmal

Verfolgen, was man nicht sieht

Das Beta einer Aktie, ihre Volatilität, das faire Niveau eines Spreads: Niemand kann diese Zahlen von einem Bildschirm ablesen. Was man jeden Tag sieht, ist ein Preis oder eine Rendite, also die verborgene Größe plus Rauschen. Ein Zustandsraummodell schreibt das mit zwei Gleichungen auf. Der Zustand $x_t$ ist die verborgene Größe und bewegt sich jeden Tag ein wenig. Die Beobachtung $y_t$ ist das, was man tatsächlich misst. Der einfachste Fall ist das Local-Level-Modell: Der Zustand macht einen Random Walk, und jede Beobachtung ist der Zustand plus Messrauschen.

Hier ist $q$, wie weit der Zustand an einem Tag wandert, und $r$, wie verrauscht eine Beobachtung ist. Drei Fragen kommen immer wieder. Die Vorhersage fragt, wo der Zustand morgen sein wird, bevor man die Daten von morgen sieht. Das Filtern fragt, wo er jetzt ist, nachdem man die heutige Beobachtung gesehen hat. Das Glätten fragt, wo er in der Vergangenheit war, wenn mehr Daten eingetroffen sind. Wer eine Live-Zahl braucht, kann nur das Filtern nutzen. Alle drei halten die Überzeugung als Glockenkurve mit Mittelwert und Varianz. Vorhersagen vergrößert die Varianz um $q$, weil der Zustand sich bewegt haben kann. Eine Beobachtung verkleinert sie, weil sie Information trägt.

• Zustand gegen Beobachtung: Der Zustand ist verborgen und bewegt sich langsam; die Beobachtung ist verrauscht und kommt jeden Tag.
• Vorhersagen, dann aktualisieren: Der Vorhersageschritt fügt Unsicherheit $q$ hinzu; das Update nutzt die Daten, um einen Teil davon zu entfernen.
• Dieselbe Idee wie beim Hidden-Markov-Modell: Dort hat der Zustand wenige Werte, hier ist er eine Zahl auf einer Geraden.

Lab: Was bewertet wird

• Ein Bewegungsschritt15 Pkt.
• Varianz einer Beobachtung15 Pkt.
• Vier Tage ohne Daten15 Pkt.
• Eine große Beobachtung10 Pkt.
• Welche Größen verborgen sind10 Pkt.
• Der Filterzyklus10 Pkt.
• Begriffe zuordnen10 Pkt.
• Warum überhaupt filtern15 Pkt.