状態空間モデルの再訪

スキル上の位置モジュール 1/3 · トピック 1/2

1.1 状態空間モデルの再訪

—ラボスコア— / 100合計XP—連続日数—

見えないものを追跡する

株式のベータ、そのボラティリティ、スプレッドの適正水準。これらの数は画面から読み取れません。毎日見えるのは価格やリターンで、それは隠れた量にノイズが加わったものです。状態空間モデルはこれを2つの式で書きます。状態 $x_t$ は隠れた量で、毎日少しずつ動きます。観測 $y_t$ は実際に測るものです。最も単純なのはローカルレベルモデルで、状態はランダムウォークをし、各観測は状態に測定ノイズを足したものです。

x_t=x_{t-1}+w_t,\ \ w_t\sim N(0,q),\qquad y_t=x_t+v_t,\ \ v_t\sim N(0,r)

(1)

ここで $q$ は状態が1日にどれだけ動くか、 $r$ は観測1つがどれだけノイズを含むかです。3つの問いが繰り返し現れます。予測は、明日のデータを見る前に明日の状態がどこにあるかを問います。フィルタリングは、今日の観測を見た後、今の状態がどこにあるかを問います。平滑化は、さらにデータが届いた後に過去の状態がどこにあったかを問います。リアルタイムの数が必要なトレーダーが使えるのはフィルタリングだけです。3つとも信念を平均と分散をもつ釣鐘形で持ちます。予測は状態が動いたかもしれないので分散を $q$ だけ増やし、観測は情報をもたらすので分散を減らします。

数字で見る最初の例信念を

x_0\sim N(0,2)

、

q=0.5

、

r=1

とします。データなしで1日動くと、

x_1

の分散は

2+0.5=2.5

です。観測が自分のノイズを加えるので、

y_1

の予測分散は

2.5+1=3.5

、平均は

0

です。

y_1

が

2

を超える確率は、標準正規分布が

2/\sqrt{3.5}=1.07

を超える確率で、約

14\%

です。データがなければ分散は毎日

0.5

ずつ増え続け、4日後には

2+4\times0.5=4

になります。

状態と観測：状態は隠れていてゆっくり動き、観測はノイズを含んで毎日届く。
予測してから更新：予測の段階で不確実性 $q$ が増え、更新の段階でデータがその一部を取り除く。
隠れマルコフモデルと同じ考え：あちらの状態は少数の値、こちらは数直線上の数。

ラボ：採点される内容

1歩の動き15点
観測の分散15点
データなしの4日間15点
大きな観測10点
どの量が隠れているか10点
フィルタのサイクル10点
用語を結び付ける10点
なぜフィルタするのか15点

0/ 8問回答済み

1数値で答える15点未回答

$x_0$ についての信念は $N(0,2)$ で、状態は $q=0.5$ で動きます。データが届く前の $x_1$ の分散はいくつですか。

P =

許容:± 0.01

2数値で答える15点未回答

状態の分散は $2.5$ 、測定ノイズの分散は $r=1$ です。観測 $y_1$ の予測分散はいくつですか。

S =

許容:± 0.01

3数値で答える15点未回答

分散 $2$ から始め、観測なしで $q=0.5$ のまま状態を4日間動かします。 $x_4$ の分散はいくつですか。

P4 =

許容:± 0.01

4数値で答える10点未回答

観測 $y_1$ は $N(0,3.5)$ に従い、 $2$ の標準化値は $z=1.07$ です。標準正規分布で $P(Z>1.07)\approx0.143$ であることを使って、 $y_1$ が $2$ を超える確率を小数第3位まで答えてください。

p =

許容:± 0.003

5選択10点未回答

次のうち、市場から直接読み取れない隠れ状態はどれですか。当てはまるものをすべて選んでください。

6手順を並べ替える10点未回答

フィルタ1サイクルの手順を正しい順に並べてください。

ドラッグして並べ替えます。または項目にフォーカスし、スペースで持ち上げ、矢印キーで移動、スペースで置きます。

1観測を使って信念を更新する
2昨日の信念から始める
3新しい信念で明日も繰り返す
4今日の値を観測する
5状態がどこへ動いたかを予測する

7対応づけ10点未回答

各用語をその意味に結び付けてください。

左の各項目に対応するものを選んでください。

状態ノイズ q

測定ノイズ r

フィルタリング

平滑化

8言葉で説明する15点未回答

1〜2文で、フィルタのように予測と観測を組み合わせると、直近のノイズ混じりの観測だけよりも隠れ状態をよく推定できる理由を説明してください。

採点基準:1回の観測はノイズを含むので、それだけでは真の状態から大きく外れうる予測は過去のデータが語ったことを持つので、新しいデータと混ぜるとノイズが平均化される0 / 400文字

数学モードキーボードまたは LaTeX で入力問題1/8 · Ctrl ⏎ で確認

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x_t=x_{t-1}+w_t,\ \ w_t\sim N(0,q),\qquad y_t=x_t+v_t,\ \ v_t\sim N(0,r)

(1)

数字で見る最初の例信念を

x_0\sim N(0,2)

、

q=0.5

、

r=1

とします。データなしで1日動くと、

x_1

の分散は

2+0.5=2.5

です。観測が自分のノイズを加えるので、

y_1

の予測分散は

2.5+1=3.5

、平均は

0

です。

y_1

が

2

を超える確率は、標準正規分布が

2/\sqrt{3.5}=1.07

を超える確率で、約

14\%

です。データがなければ分散は毎日

0.5

ずつ増え続け、4日後には

2+4\times0.5=4

になります。

状態と観測：状態は隠れていてゆっくり動き、観測はノイズを含んで毎日届く。
予測してから更新：予測の段階で不確実性 $q$ が増え、更新の段階でデータがその一部を取り除く。
隠れマルコフモデルと同じ考え：あちらの状態は少数の値、こちらは数直線上の数。

ラボ：採点される内容

1歩の動き15点
観測の分散15点
データなしの4日間15点
大きな観測10点
どの量が隠れているか10点
フィルタのサイクル10点
用語を結び付ける10点
なぜフィルタするのか15点

0/ 8問回答済み

1数値で答える15点未回答

$x_0$ についての信念は $N(0,2)$ で、状態は $q=0.5$ で動きます。データが届く前の $x_1$ の分散はいくつですか。

P =

許容:± 0.01

2数値で答える15点未回答

状態の分散は $2.5$ 、測定ノイズの分散は $r=1$ です。観測 $y_1$ の予測分散はいくつですか。

S =

許容:± 0.01

3数値で答える15点未回答

分散 $2$ から始め、観測なしで $q=0.5$ のまま状態を4日間動かします。 $x_4$ の分散はいくつですか。

P4 =

許容:± 0.01

4数値で答える10点未回答

p =

許容:± 0.003

5選択10点未回答

次のうち、市場から直接読み取れない隠れ状態はどれですか。当てはまるものをすべて選んでください。

6手順を並べ替える10点未回答

フィルタ1サイクルの手順を正しい順に並べてください。

ドラッグして並べ替えます。または項目にフォーカスし、スペースで持ち上げ、矢印キーで移動、スペースで置きます。

1観測を使って信念を更新する
2昨日の信念から始める
3新しい信念で明日も繰り返す
4今日の値を観測する
5状態がどこへ動いたかを予測する

7対応づけ10点未回答

各用語をその意味に結び付けてください。

左の各項目に対応するものを選んでください。

状態ノイズ q

測定ノイズ r

フィルタリング

平滑化

8言葉で説明する15点未回答

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