Los modelos de espacio de estados, otra vez

Posición en la rutaMódulo 1 de 3 · Tema 1 de 2

1.1 Los modelos de espacio de estados, otra vez

—Puntuación del lab— / 100XP total—Racha—

Seguir lo que no se ve

La beta de una acción, su volatilidad, el nivel justo de un diferencial: nadie puede leer esos números en una pantalla. Lo que se ve cada día es un precio o un rendimiento, que es la cantidad oculta más ruido. Un modelo de espacio de estados lo escribe con dos ecuaciones. El estado $x_t$ es la cantidad oculta y se mueve un poco cada día. La observación $y_t$ es lo que realmente se mide. El caso más simple es el modelo de nivel local: el estado hace un paseo aleatorio y cada observación es el estado más ruido de medición.

x_t=x_{t-1}+w_t,\ \ w_t\sim N(0,q),\qquad y_t=x_t+v_t,\ \ v_t\sim N(0,r)

(1)

Aquí $q$ es cuánto vaga el estado en un día y $r$ lo ruidosa que es una observación. Tres preguntas aparecen una y otra vez. La predicción pregunta dónde estará el estado mañana antes de ver los datos de mañana. El filtrado pregunta dónde está ahora, tras ver la observación de hoy. El suavizado pregunta dónde estuvo en el pasado, cuando han llegado más datos. Un operador que necesita una cifra en vivo solo puede usar el filtrado. Las tres mantienen la creencia como una campana con media y varianza. Predecir aumenta la varianza en $q$ , porque el estado pudo moverse. Ver una observación la reduce, porque aporta información.

Una primera mirada con númerosPartamos de la creencia

x_0\sim N(0,2)

, con

q=0{,}5

r=1

. Tras un día de movimiento, sin datos, la varianza de

x_1

2+0{,}5=2{,}5

. La observación añade su propio ruido:

y_1

tiene varianza predictiva

2{,}5+1=3{,}5

y media

0

. La probabilidad de que

y_1

supere

2

es la de que una normal estándar supere

2/\sqrt{3{,}5}=1{,}07

, cerca del

14\%

. Sin datos, la varianza sigue creciendo

0{,}5

por día: tras cuatro días vale

2+4\times0{,}5=4

Estado frente a observación: el estado está oculto y se mueve despacio; la observación es ruidosa y llega cada día.
Predecir y luego actualizar: el paso de predicción añade incertidumbre $q$ ; la actualización usa los datos para quitar parte.
La misma idea que un modelo oculto de Markov: allí el estado tiene pocos valores, aquí es un número en una recta.

Lab: qué se califica

Un paso de movimiento15 pts
Varianza de una observación15 pts
Cuatro días sin datos15 pts
Una observación grande10 pts
Qué cantidades están ocultas10 pts
El ciclo del filtro10 pts
Emparejar el vocabulario10 pts
Por qué filtrar15 pts

0/ 8 respondidos

1Respuesta numérica15 ptsSin responder

La creencia sobre $x_0$ es $N(0,2)$ y el estado se mueve con $q=0{,}5$ . ¿Cuál es la varianza de $x_1$ antes de que llegue ningún dato?

P =

aceptado: ± 0.01

2Respuesta numérica15 ptsSin responder

El estado tiene varianza $2{,}5$ y el ruido de medición tiene varianza $r=1$ . ¿Cuál es la varianza predictiva de la observación $y_1$ ?

S =

aceptado: ± 0.01

3Respuesta numérica15 ptsSin responder

Parta de varianza $2$ y deje que el estado se mueva cuatro días con $q=0{,}5$ y sin observaciones. ¿Cuál es la varianza de $x_4$ ?

P4 =

aceptado: ± 0.01

4Respuesta numérica10 ptsSin responder

La observación $y_1$ es $N(0;3{,}5)$ . El valor estandarizado de $2$ es $z=1{,}07$ . Sabiendo que $P(Z>1{,}07)\approx0{,}143$ para la normal estándar, dé la probabilidad de que $y_1$ supere $2$ con tres decimales.

p =

aceptado: ± 0.003

5Elección10 ptsSin responder

¿Cuáles de estas cantidades son estados ocultos, que nunca se leen directamente en el mercado? Elija todas las correctas.

6Ordenar los pasos10 ptsSin responder

Ponga en orden los pasos de un ciclo de filtro.

Arrastra para reordenar, o enfoca un elemento, pulsa Espacio para levantarlo, las flechas para moverlo y Espacio para soltarlo.

1Usar la observación para actualizar la creencia
2Partir de la creencia de ayer
3Repetir mañana con la nueva creencia
4Observar el valor de hoy
5Predecir dónde se ha movido el estado

7Emparejar10 ptsSin responder

Empareje cada término con su significado.

Elige la pareja de cada elemento de la izquierda.

Ruido de estado q

Ruido de medición r

Filtrado

Suavizado

8Explicar con palabras15 ptsSin responder

En una o dos frases, explique por qué combinar una predicción con una observación, como hace un filtro, da una mejor estimación del estado oculto que la última observación ruidosa sola.

Se califica por:Una observación es ruidosa, así que sola puede estar lejos del estado verdaderoLa predicción lleva lo que dijeron los datos anteriores, así que mezclarla con los nuevos promedia el ruido0 / 400 caracteres

Modo matemáticasEntrada por teclado o LaTeXEjercicio 1 de 8 · Ctrl ⏎ para comprobar

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x_t=x_{t-1}+w_t,\ \ w_t\sim N(0,q),\qquad y_t=x_t+v_t,\ \ v_t\sim N(0,r)

(1)

Una primera mirada con númerosPartamos de la creencia

x_0\sim N(0,2)

, con

q=0{,}5

r=1

. Tras un día de movimiento, sin datos, la varianza de

x_1

2+0{,}5=2{,}5

. La observación añade su propio ruido:

y_1

tiene varianza predictiva

2{,}5+1=3{,}5

y media

0

. La probabilidad de que

y_1

supere

2

es la de que una normal estándar supere

2/\sqrt{3{,}5}=1{,}07

, cerca del

14\%

. Sin datos, la varianza sigue creciendo

0{,}5

por día: tras cuatro días vale

2+4\times0{,}5=4

Estado frente a observación: el estado está oculto y se mueve despacio; la observación es ruidosa y llega cada día.
Predecir y luego actualizar: el paso de predicción añade incertidumbre $q$ ; la actualización usa los datos para quitar parte.
La misma idea que un modelo oculto de Markov: allí el estado tiene pocos valores, aquí es un número en una recta.

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Qué cantidades están ocultas10 pts
El ciclo del filtro10 pts
Emparejar el vocabulario10 pts
Por qué filtrar15 pts

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1Respuesta numérica15 ptsSin responder

La creencia sobre $x_0$ es $N(0,2)$ y el estado se mueve con $q=0{,}5$ . ¿Cuál es la varianza de $x_1$ antes de que llegue ningún dato?

P =

aceptado: ± 0.01

2Respuesta numérica15 ptsSin responder

El estado tiene varianza $2{,}5$ y el ruido de medición tiene varianza $r=1$ . ¿Cuál es la varianza predictiva de la observación $y_1$ ?

S =

aceptado: ± 0.01

3Respuesta numérica15 ptsSin responder

Parta de varianza $2$ y deje que el estado se mueva cuatro días con $q=0{,}5$ y sin observaciones. ¿Cuál es la varianza de $x_4$ ?

P4 =

aceptado: ± 0.01

4Respuesta numérica10 ptsSin responder

p =

aceptado: ± 0.003

5Elección10 ptsSin responder

¿Cuáles de estas cantidades son estados ocultos, que nunca se leen directamente en el mercado? Elija todas las correctas.

6Ordenar los pasos10 ptsSin responder

Ponga en orden los pasos de un ciclo de filtro.

Arrastra para reordenar, o enfoca un elemento, pulsa Espacio para levantarlo, las flechas para moverlo y Espacio para soltarlo.

1Usar la observación para actualizar la creencia
2Partir de la creencia de ayer
3Repetir mañana con la nueva creencia
4Observar el valor de hoy
5Predecir dónde se ha movido el estado

7Emparejar10 ptsSin responder

Empareje cada término con su significado.

Elige la pareja de cada elemento de la izquierda.

Ruido de estado q

Ruido de medición r

Filtrado

Suavizado

8Explicar con palabras15 ptsSin responder

En una o dos frases, explique por qué combinar una predicción con una observación, como hace un filtro, da una mejor estimación del estado oculto que la última observación ruidosa sola.

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