Das Kalman-Filter im Überblick

Der Filter für Glockenkurven

Bewegt sich der Zustand linear und ist alles Rauschen glockenförmig, passiert etwas Schönes: Die Überzeugung über den Zustand bleibt für immer eine Glockenkurve. Eine Glockenkurve braucht nur zwei Zahlen, ihren Mittelwert $m$ und ihre Varianz $P$, also muss ein Filter nur diese beiden mitführen. Das ist das Kalman-Filter, und in diesem Rahmen ist es die exakte Antwort. Jeden Tag macht es zwei Schritte. Vorhersagen: Der Mittelwert bleibt, die Varianz wächst um $q$. Aktualisieren: Die Beobachtung $y$ zieht den Mittelwert um einen Bruchteil $K$, den Gewinn, zu sich, und die Varianz sinkt.

Das Update ist nur ein gewichteter Mittelwert: Der neue Mittelwert ist $(1-K)\,m^{-}+K\,y$. Der Gewinn $K$ liegt zwischen $0$ und $1$. Er ist nahe $1$, wenn die Vorhersage sehr unsicher ist ($P^{-}$ groß) oder die Beobachtung präzise ($r$ klein), man vertraut also den Daten. Er ist nahe $0$ im umgekehrten Fall, man vertraut der Vorhersage. Die Differenz $y-m^{-}$ ist die Überraschung, Innovation genannt. Jedes Update verkleinert die Varianz, weil $1-K<1$ ist, jede Vorhersage vergrößert sie um $q$. Nach genügend langer Zeit gleichen sich beide auf einem stabilen Niveau aus.

Dasselbe Filter verfolgt ein zeitveränderliches Beta. Der Zustand ist das Beta $\beta_t$, das wie ein Random Walk driftet, und die Beobachtung ist die Rendite einer Aktie $y_t=\beta_t\,m_t+e_t$, wobei $m_t$ die Marktrendite ist. Die einzige Änderung: Der Gewinn wird zu $K=P^{-}m_t/(P^{-}m_t^{2}+r)$. Eine große Marktbewegung lehrt viel über das Beta, ein Tag mit $m_t\approx0$ fast nichts. Bei Apple gegenüber dem SPY seit 2005 liegt das Beta der ganzen Stichprobe bei $1{,}07$, während ein Kalman-Filter mit $q=10^{-3}$ es Ende 2008 bei $0{,}77$, Ende 2018 bei $1{,}42$ und am letzten Tag bei $0{,}40$ sieht, mit einem Standardfehler von etwa $0{,}25$.

• Zwei Zahlen pro Tag: Mittelwert und Varianz genügen, wenn alles linear und glockenförmig ist.
• Der Gewinn ist ein Vertrauensregler: $K$ nahe $1$ vertraut den neuen Daten, nahe $0$ der Vorhersage.
• Grenzen: Ist die Volatilität selbst verborgen oder hat das Rauschen dicke Ränder, ist die Überzeugung keine Glockenkurve mehr und man braucht Partikel.

Lab: Was bewertet wird

• Der erste Gewinn15 Pkt.
• Der aktualisierte Mittelwert15 Pkt.
• Die aktualisierte Varianz10 Pkt.
• Zweiter Tag15 Pkt.
• Das stabile Niveau10 Pkt.
• Eine verrauschtere Beobachtung10 Pkt.
• Begriffe zuordnen10 Pkt.
• Warum ein Update die Varianz senkt15 Pkt.