Rappel sur le filtre de Kalman

Le filtre pour les courbes en cloche

Quand l'état évolue de façon linéaire et que tout le bruit est en cloche, il se passe quelque chose de agréable : la croyance sur l'état reste une courbe en cloche pour toujours. Une courbe en cloche n'a besoin que de deux nombres, sa moyenne $m$ et sa variance $P$ , donc un filtre n'a qu'à porter ces deux-là. C'est le filtre de Kalman, et c'est la réponse exacte dans ce cadre. Chaque jour il fait deux étapes. Prévoir : la moyenne reste, la variance augmente de $q$ . Mettre à jour : l'observation $y$ tire la moyenne vers elle d'une fraction $K$ , appelée gain, et la variance diminue.

P^{-}=P+q,\quad K=\frac{P^{-}}{P^{-}+r},\quad m=m^{-}+K\,(y-m^{-}),\quad P=(1-K)\,P^{-}

(1)

La mise à jour est une simple moyenne pondérée : la nouvelle moyenne vaut $(1-K)\,m^{-}+K\,y$ . Le gain $K$ est entre $0$ et $1$ . Il est proche de $1$ quand la prévision est très incertaine ( $P^{-}$ grand) ou l'observation précise ( $r$ petit) : on fait confiance aux données. Il est proche de $0$ dans le cas inverse : on fait confiance à la prévision. La différence $y-m^{-}$ est la surprise, appelée innovation. Chaque mise à jour réduit la variance, car $1-K<1$ , tandis que chaque prévision l'augmente de $q$ . Après assez longtemps, les deux s'équilibrent à un niveau stable.

Deux jours de filtragePrenons la croyance

N(0,2)

q=0{,}5

r=1

et la première observation

y_1=2

. Prévision :

P^{-}=2{,}5

. Gain :

K=2{,}5/3{,}5=0{,}714

. Mise à jour :

m_1=0+0{,}714\times2=1{,}429

P_1=(1-0{,}714)\times2{,}5=0{,}714

. Le jour suivant,

y_2=1

: prévision

P^{-}=0{,}714+0{,}5=1{,}214

K=1{,}214/2{,}214=0{,}548

. La surprise est

1-1{,}429=-0{,}429

, donc

m_2=1{,}429-0{,}548\times0{,}429=1{,}194

. À long terme la variance prévue se stabilise là où

P^{-}=q+P^{-}r/(P^{-}+r)

, ce qui vaut exactement

1

pour ces nombres et donne un gain stable de

0{,}5

Le même filtre suit un bêta variable. L'état est le bêta $\beta_t$ , qui dérive comme une marche aléatoire, et l'observation est le rendement d'une action $y_t=\beta_t\,m_t+e_t$ , où $m_t$ est le rendement du marché. Le seul changement est que le gain devient $K=P^{-}m_t/(P^{-}m_t^{2}+r)$ : un grand mouvement du marché apprend beaucoup sur le bêta, un jour avec $m_t\approx0$ n'apprend presque rien. Sur Apple face à SPY depuis 2005, le bêta sur tout l'échantillon est $1{,}07$ , alors qu'un filtre de Kalman avec $q=10^{-3}$ le place à $0{,}77$ fin 2008, $1{,}42$ fin 2018 et $0{,}40$ le dernier jour, avec une erreur type d'environ $0{,}25$ .

Deux nombres par jour : une moyenne et une variance suffisent quand tout est linéaire et en cloche.
Le gain est un cadran de confiance : $K$ près de $1$ fait confiance aux nouvelles données, près de $0$ à la prévision.
Limites : si la volatilité elle-même est cachée ou si le bruit a des queues épaisses, la croyance n'est plus une cloche et il faut des particules.

Lab : ce qui est noté

Le premier gain15 pts
La moyenne mise à jour15 pts
La variance mise à jour10 pts
Deuxième jour15 pts
Le niveau stable10 pts
Une observation plus bruitée10 pts
Associer le vocabulaire10 pts
Pourquoi une mise à jour réduit la variance15 pts

Le filtre pour les courbes en cloche

P^{-}=P+q,\quad K=\frac{P^{-}}{P^{-}+r},\quad m=m^{-}+K\,(y-m^{-}),\quad P=(1-K)\,P^{-}

(1)

Deux jours de filtragePrenons la croyance

N(0,2)

q=0{,}5

r=1

et la première observation

y_1=2

. Prévision :

P^{-}=2{,}5

. Gain :

K=2{,}5/3{,}5=0{,}714

. Mise à jour :

m_1=0+0{,}714\times2=1{,}429

P_1=(1-0{,}714)\times2{,}5=0{,}714

. Le jour suivant,

y_2=1

: prévision

P^{-}=0{,}714+0{,}5=1{,}214

K=1{,}214/2{,}214=0{,}548

. La surprise est

1-1{,}429=-0{,}429

, donc

m_2=1{,}429-0{,}548\times0{,}429=1{,}194

. À long terme la variance prévue se stabilise là où

P^{-}=q+P^{-}r/(P^{-}+r)

, ce qui vaut exactement

1

pour ces nombres et donne un gain stable de

0{,}5

Deux nombres par jour : une moyenne et une variance suffisent quand tout est linéaire et en cloche.
Le gain est un cadran de confiance : $K$ près de $1$ fait confiance aux nouvelles données, près de $0$ à la prévision.
Limites : si la volatilité elle-même est cachée ou si le bruit a des queues épaisses, la croyance n'est plus une cloche et il faut des particules.

Lab : ce qui est noté

Le premier gain15 pts
La moyenne mise à jour15 pts
La variance mise à jour10 pts
Deuxième jour15 pts
Le niveau stable10 pts
Une observation plus bruitée10 pts
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Pourquoi une mise à jour réduit la variance15 pts

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