Amostragem por importância

Posição no roteiroMódulo 2 de 3 · Tópico 1 de 5

2.1 Amostragem por importância

—Nota do lab— / 100XP total—Sequência—

Estimar com palpites ponderados

Muitas vezes se quer uma média sob uma distribuição $p$ da qual não se consegue sortear. Na filtragem, $p$ é a crença sobre o estado oculto depois dos dados de hoje. O truque da amostragem por importância é sortear de uma distribuição fácil $g$ , chamada proposta, e consertar a diferença com pesos. Um ponto $x_i$ que a proposta produz demais recebe um peso pequeno, e um que produz de menos recebe um peso grande: $w_i=p(x_i)/g(x_i)$ . Em geral $p$ só é conhecida a menos de uma constante, então os pesos são divididos pela soma, o que os faz somar $1$ .

w_i=\frac{p(x_i)}{g(x_i)},\quad \tilde w_i=\frac{w_i}{\sum_j w_j},\quad E_p[f]\approx\sum_i\tilde w_i\,f(x_i),\quad \mathrm{ESS}=\frac{1}{\sum_i\tilde w_i^{2}}

(1)

Num filtro, a proposta é a previsão (onde o estado provavelmente está antes dos dados) e o alvo é a crença depois dos dados. Sua razão é simplesmente a verossimilhança da observação: o peso de uma partícula diz quão bem ela explica $y$ . O tamanho amostral efetivo, ESS, diz a quantos sorteios de pesos iguais a amostra ponderada equivale. Vale $N$ quando todos os pesos são iguais e $1$ quando um único ponto carrega tudo. Quando o ESS é pequeno, a estimativa se apoia em poucos pontos e fica ruidosa. Isso ocorre quando a proposta erra os lugares onde o alvo tem sua massa, por exemplo quando os dados são uma grande surpresa.

Quatro partículas e uma observaçãoQuatro sorteios da previsão são

x=-1,0,1,2

e observa-se

y=1

com variância de ruído

r=1

. Os pesos não normalizados são

e^{-(1-x)^2/2}=0{,}135,\ 0{,}607,\ 1,\ 0{,}607

, que somam

2{,}348

. Os pesos normalizados são

0{,}058,\ 0{,}258,\ 0{,}426,\ 0{,}258

. A média ponderada é

0{,}885

e o segundo momento ponderado

1{,}516

, então a variância é

1{,}516-0{,}885^{2}=0{,}734

. O tamanho amostral efetivo é

1/(0{,}058^2+0{,}258^2+0{,}426^2+0{,}258^2)=3{,}14

4

Os pesos consertam a diferença: sortear de uma $g$ fácil, ponderar por $p/g$ , dividir pela soma.
Num filtro o peso é a verossimilhança: a partícula que melhor explica a observação recebe mais peso.
Vigie o ESS: $1/\sum\tilde w^{2}$ cai quando poucos pontos dominam, sinal de uma proposta ruim.

Lab: o que é avaliado

Um peso normalizado15 pts
A média ponderada15 pts
O tamanho amostral efetivo15 pts
A variância ponderada10 pts
Uma proposta perigosa10 pts
Os passos da amostragem por importância10 pts
Associar o vocabulário10 pts
Por que os pesos são necessários15 pts

0/ 8 respondidas

1Resposta numérica15 ptsSem resposta

Os pesos não normalizados das quatro partículas são $0{,}135,\ 0{,}607,\ 1,\ 0{,}607$ e somam $2{,}348$ . Qual é o peso normalizado da primeira partícula? Dê três casas decimais.

w =

aceito: ± 0.001

2Resposta numérica15 ptsSem resposta

As partículas $x=-1,0,1,2$ têm pesos normalizados $0{,}058,\ 0{,}258,\ 0{,}426,\ 0{,}258$ . Quanto vale a média ponderada $\sum\tilde w_i x_i$ ? Dê três casas decimais.

m =

aceito: ± 0.003

3Resposta numérica15 ptsSem resposta

Com os pesos normalizados $0{,}058,\ 0{,}258,\ 0{,}426,\ 0{,}258$ , a soma dos quadrados dos pesos é $0{,}318$ . Quanto vale o tamanho amostral efetivo $1/\sum\tilde w_i^{2}$ ? Dê duas casas decimais.

ess =

aceito: ± 0.02

4Resposta numérica10 ptsSem resposta

O segundo momento ponderado $\sum\tilde w_i x_i^{2}$ é $1{,}516$ e a média ponderada $0{,}885$ . Quanto vale a variância ponderada? Dê três casas decimais.

v =

aceito: ± 0.004

5Escolha10 ptsSem resposta

Qual proposta tem mais chance de dar um tamanho amostral efetivo minúsculo?

6Ordenar os passos10 ptsSem resposta

Coloque em ordem os passos da amostragem por importância autonormalizada.

Arraste para reordenar, ou foque um item, Espaço para levantá-lo, setas para movê-lo e Espaço para soltá-lo.

1Dividir cada peso pela soma dos pesos
2Sortear pontos da proposta fácil
3Tirar a média da quantidade com os pesos normalizados
4Calcular um peso para cada ponto: alvo sobre proposta

7Associar10 ptsSem resposta

Associe cada termo ao seu significado.

Escolha o par de cada item da esquerda.

Proposta

Alvo

Peso de importância

Tamanho amostral efetivo

8Explicar com palavras15 ptsSem resposta

Em uma ou duas frases, explique por que é preciso ponderar os sorteios por $p/g$ quando se sorteia da proposta $g$ em vez do alvo $p$ .

Avaliado por:Os sorteios vêm da distribuição errada, então algumas regiões aparecem demais e outras de menosOs pesos p sobre g reduzem ou aumentam cada ponto para corrigir isso0 / 400 caracteres

Modo matemáticaEntrada por teclado ou LaTeXTarefa 1 de 8 · Ctrl ⏎ para verificar

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Estimar com palpites ponderados

w_i=\frac{p(x_i)}{g(x_i)},\quad \tilde w_i=\frac{w_i}{\sum_j w_j},\quad E_p[f]\approx\sum_i\tilde w_i\,f(x_i),\quad \mathrm{ESS}=\frac{1}{\sum_i\tilde w_i^{2}}

(1)

Quatro partículas e uma observaçãoQuatro sorteios da previsão são

x=-1,0,1,2

e observa-se

y=1

com variância de ruído

r=1

. Os pesos não normalizados são

e^{-(1-x)^2/2}=0{,}135,\ 0{,}607,\ 1,\ 0{,}607

, que somam

2{,}348

. Os pesos normalizados são

0{,}058,\ 0{,}258,\ 0{,}426,\ 0{,}258

. A média ponderada é

0{,}885

e o segundo momento ponderado

1{,}516

, então a variância é

1{,}516-0{,}885^{2}=0{,}734

. O tamanho amostral efetivo é

1/(0{,}058^2+0{,}258^2+0{,}426^2+0{,}258^2)=3{,}14

4

Os pesos consertam a diferença: sortear de uma $g$ fácil, ponderar por $p/g$ , dividir pela soma.
Num filtro o peso é a verossimilhança: a partícula que melhor explica a observação recebe mais peso.
Vigie o ESS: $1/\sum\tilde w^{2}$ cai quando poucos pontos dominam, sinal de uma proposta ruim.

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Um peso normalizado15 pts
A média ponderada15 pts
O tamanho amostral efetivo15 pts
A variância ponderada10 pts
Uma proposta perigosa10 pts
Os passos da amostragem por importância10 pts
Associar o vocabulário10 pts
Por que os pesos são necessários15 pts

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1Resposta numérica15 ptsSem resposta

Os pesos não normalizados das quatro partículas são $0{,}135,\ 0{,}607,\ 1,\ 0{,}607$ e somam $2{,}348$ . Qual é o peso normalizado da primeira partícula? Dê três casas decimais.

w =

aceito: ± 0.001

2Resposta numérica15 ptsSem resposta

As partículas $x=-1,0,1,2$ têm pesos normalizados $0{,}058,\ 0{,}258,\ 0{,}426,\ 0{,}258$ . Quanto vale a média ponderada $\sum\tilde w_i x_i$ ? Dê três casas decimais.

m =

aceito: ± 0.003

3Resposta numérica15 ptsSem resposta

ess =

aceito: ± 0.02

4Resposta numérica10 ptsSem resposta

O segundo momento ponderado $\sum\tilde w_i x_i^{2}$ é $1{,}516$ e a média ponderada $0{,}885$ . Quanto vale a variância ponderada? Dê três casas decimais.

v =

aceito: ± 0.004

5Escolha10 ptsSem resposta

Qual proposta tem mais chance de dar um tamanho amostral efetivo minúsculo?

6Ordenar os passos10 ptsSem resposta

Coloque em ordem os passos da amostragem por importância autonormalizada.

Arraste para reordenar, ou foque um item, Espaço para levantá-lo, setas para movê-lo e Espaço para soltá-lo.

1Dividir cada peso pela soma dos pesos
2Sortear pontos da proposta fácil
3Tirar a média da quantidade com os pesos normalizados
4Calcular um peso para cada ponto: alvo sobre proposta

7Associar10 ptsSem resposta

Associe cada termo ao seu significado.

Escolha o par de cada item da esquerda.

Proposta

Alvo

Peso de importância

Tamanho amostral efetivo

8Explicar com palavras15 ptsSem resposta

Em uma ou duas frases, explique por que é preciso ponderar os sorteios por $p/g$ quando se sorteia da proposta $g$ em vez do alvo $p$ .

Avaliado por:Os sorteios vêm da distribuição errada, então algumas regiões aparecem demais e outras de menosOs pesos p sobre g reduzem ou aumentam cada ponto para corrigir isso0 / 400 caracteres

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