O filtro de partículas bootstrap

Uma nuvem que segue o estado

Um filtro de partículas guarda a crença sobre o estado oculto como uma nuvem de $N$ partículas. Cada partícula é um valor possível do estado e carrega um peso que diz quão plausível ela é. Nenhum sino é suposto, então a nuvem pode ter qualquer forma. Cada dia segue o mesmo ciclo. Propagar: mover cada partícula com o movimento aleatório do próprio modelo. Ponderar: dar a cada partícula um peso igual à verossimilhança da observação de hoje dada essa partícula. Estimar: a média filtrada é a média ponderada das partículas. Reamostrar: sortear uma nuvem nova em que as boas partículas são copiadas e as ruins desaparecem.

x_t^{(i)}=x_{t-1}^{(i)}+\sqrt q\,z^{(i)},\quad w^{(i)}=p(y_t\mid x_t^{(i)}),\quad \hat m_t=\sum_i\tilde w^{(i)}x_t^{(i)},\quad \hat p(y_t)=\frac1N\sum_i w^{(i)}

(1)

Chama-se filtro bootstrap porque a proposta é a mais simples: a transição do próprio modelo. Assim o peso de uma partícula é exatamente a verossimilhança. A receita serve para qualquer modelo que se possa simular para frente e cuja verossimilhança da observação se possa avaliar: estados não lineares, caudas grossas, volatilidade oculta, onde o filtro de Kalman não tem resposta exata. O preço é o acaso. Duas execuções com números aleatórios diferentes dão respostas um pouco diferentes, e o erro diminui como $1/\sqrt N$ . Na prática fixa-se a semente aleatória para poder reproduzir uma execução.

Um ciclo com quatro partículasApós a propagação as quatro partículas estão em

-1,0,1,2

e observa-se

y=1

com

r=1

. As verossimilhanças são

0{,}054,\ 0{,}242,\ 0{,}399,\ 0{,}242

(a densidade normal, com o fator

1/\sqrt{2\pi}

) e os pesos

0{,}058,\ 0{,}258,\ 0{,}426,\ 0{,}258

. A média filtrada é

0{,}885

. A verossimilhança média,

0{,}234

, estima quão provável era a observação, e a soma dos logaritmos dessas médias em todos os dias é a log-verossimilhança do modelo. Para reamostrar, sorteiam-se uniformes

0{,}05,\ 0{,}5,\ 0{,}6,\ 0{,}9

e procuram-se nos pesos acumulados

0{,}058,\ 0{,}316,\ 0{,}742,\ 1

. Eles escolhem as partículas

1,3,3,4

, então a nova nuvem é

-1,1,1,2

com pesos iguais

0{,}25

e média

0{,}75

Quatro passos por dia: propagar, ponderar, estimar, reamostrar.
Peso = verossimilhança: só o passo de ponderação olha a observação de hoje.
Qualquer modelo que se possa simular: trata casos não lineares e não gaussianos ao preço de um erro aleatório da ordem de $1/\sqrt N$ .

Quão perto de Kalman?No modelo de beta da Apple, onde Kalman é exato, um filtro bootstrap com

500

partículas difere dele em

0{,}016

em média, e com

2000

partículas em

0{,}0065

. Quadruplicar as partículas reduziu o erro aproximadamente à metade, como prevê

1/\sqrt N

Lab: o que é avaliado

O peso de uma partícula15 pts
A média filtrada15 pts
Verossimilhança da observação15 pts
Depois da reamostragem10 pts
Qual passo usa os dados10 pts
O ciclo diário10 pts
Associar o vocabulário10 pts
Por que as partículas superam o Kalman aqui15 pts

Uma nuvem que segue o estado

x_t^{(i)}=x_{t-1}^{(i)}+\sqrt q\,z^{(i)},\quad w^{(i)}=p(y_t\mid x_t^{(i)}),\quad \hat m_t=\sum_i\tilde w^{(i)}x_t^{(i)},\quad \hat p(y_t)=\frac1N\sum_i w^{(i)}

(1)

Um ciclo com quatro partículasApós a propagação as quatro partículas estão em

-1,0,1,2

e observa-se

y=1

com

r=1

. As verossimilhanças são

0{,}054,\ 0{,}242,\ 0{,}399,\ 0{,}242

(a densidade normal, com o fator

1/\sqrt{2\pi}

) e os pesos

0{,}058,\ 0{,}258,\ 0{,}426,\ 0{,}258

. A média filtrada é

0{,}885

. A verossimilhança média,

0{,}234

, estima quão provável era a observação, e a soma dos logaritmos dessas médias em todos os dias é a log-verossimilhança do modelo. Para reamostrar, sorteiam-se uniformes

0{,}05,\ 0{,}5,\ 0{,}6,\ 0{,}9

e procuram-se nos pesos acumulados

0{,}058,\ 0{,}316,\ 0{,}742,\ 1

. Eles escolhem as partículas

1,3,3,4

, então a nova nuvem é

-1,1,1,2

com pesos iguais

0{,}25

e média

0{,}75

Quatro passos por dia: propagar, ponderar, estimar, reamostrar.
Peso = verossimilhança: só o passo de ponderação olha a observação de hoje.
Qualquer modelo que se possa simular: trata casos não lineares e não gaussianos ao preço de um erro aleatório da ordem de $1/\sqrt N$ .

Quão perto de Kalman?No modelo de beta da Apple, onde Kalman é exato, um filtro bootstrap com

500

partículas difere dele em

0{,}016

em média, e com

2000

partículas em

0{,}0065

. Quadruplicar as partículas reduziu o erro aproximadamente à metade, como prevê

1/\sqrt N

Lab: o que é avaliado

O peso de uma partícula15 pts
A média filtrada15 pts
Verossimilhança da observação15 pts
Depois da reamostragem10 pts
Qual passo usa os dados10 pts
O ciclo diário10 pts
Associar o vocabulário10 pts
Por que as partículas superam o Kalman aqui15 pts

O filtro de partículas bootstrap

Uma nuvem que segue o estado

Lab: o que é avaliado

Entre para executar o seu código.

O filtro de partículas bootstrap

Uma nuvem que segue o estado

Lab: o que é avaliado

Entre para executar o seu código.