El filtro de partículas bootstrap

Una nube que sigue al estado

Un filtro de partículas guarda la creencia sobre el estado oculto como una nube de $N$ partículas. Cada partícula es un valor posible del estado y lleva un peso que dice cuán plausible es. No se supone ninguna campana, así que la nube puede tomar cualquier forma. Cada día sigue el mismo ciclo. Propagar: mover cada partícula con el movimiento aleatorio del propio modelo. Ponderar: dar a cada partícula un peso igual a la verosimilitud de la observación de hoy dada esa partícula. Estimar: la media filtrada es el promedio ponderado de las partículas. Remuestrear: sacar una nube nueva donde las buenas partículas se copian y las malas desaparecen.

x_t^{(i)}=x_{t-1}^{(i)}+\sqrt q\,z^{(i)},\quad w^{(i)}=p(y_t\mid x_t^{(i)}),\quad \hat m_t=\sum_i\tilde w^{(i)}x_t^{(i)},\quad \hat p(y_t)=\frac1N\sum_i w^{(i)}

(1)

Se llama filtro bootstrap porque la propuesta es la más simple: la transición del propio modelo. Así el peso de una partícula es exactamente la verosimilitud. La receta sirve para cualquier modelo que se pueda simular hacia adelante y cuya verosimilitud de la observación se pueda evaluar: estados no lineales, colas gruesas, volatilidad oculta, donde el filtro de Kalman no tiene respuesta exacta. El precio es el azar. Dos ejecuciones con números aleatorios distintos dan respuestas algo distintas, y el error se reduce como $1/\sqrt N$ . En la práctica se fija la semilla aleatoria para poder reproducir una ejecución.

Un ciclo con cuatro partículasTras la propagación las cuatro partículas están en

-1,0,1,2

y se observa

y=1

con

r=1

. Las verosimilitudes son

0{,}054,\ 0{,}242,\ 0{,}399,\ 0{,}242

(la densidad normal, con el factor

1/\sqrt{2\pi}

) y los pesos

0{,}058,\ 0{,}258,\ 0{,}426,\ 0{,}258

. La media filtrada es

0{,}885

. La verosimilitud media,

0{,}234

, estima cuán probable era la observación, y la suma de los logaritmos de esos promedios en todos los días es la log-verosimilitud del modelo. Para remuestrear se sacan uniformes

0{,}05,\ 0{,}5,\ 0{,}6,\ 0{,}9

y se buscan en los pesos acumulados

0{,}058,\ 0{,}316,\ 0{,}742,\ 1

. Eligen las partículas

1,3,3,4

, así que la nueva nube es

-1,1,1,2

con pesos iguales

0{,}25

y media

0{,}75

Cuatro pasos al día: propagar, ponderar, estimar, remuestrear.
Peso = verosimilitud: solo el paso de ponderación mira la observación de hoy.
Cualquier modelo que se pueda simular: maneja casos no lineales y no gaussianos al precio de un error aleatorio del orden de $1/\sqrt N$ .

¿Cuán cerca de Kalman?En el modelo de beta de Apple, donde Kalman es exacto, un filtro bootstrap con

500

partículas difiere de él en

0{,}016

de media, y con

2000

partículas en

0{,}0065

. Cuadruplicar las partículas redujo el error aproximadamente a la mitad, como predice

1/\sqrt N

Lab: qué se califica

El peso de una partícula15 pts
La media filtrada15 pts
Verosimilitud de la observación15 pts
Tras el remuestreo10 pts
Qué paso usa los datos10 pts
El ciclo diario10 pts
Emparejar el vocabulario10 pts
Por qué las partículas superan a Kalman aquí15 pts

Una nube que sigue al estado

x_t^{(i)}=x_{t-1}^{(i)}+\sqrt q\,z^{(i)},\quad w^{(i)}=p(y_t\mid x_t^{(i)}),\quad \hat m_t=\sum_i\tilde w^{(i)}x_t^{(i)},\quad \hat p(y_t)=\frac1N\sum_i w^{(i)}

(1)

Un ciclo con cuatro partículasTras la propagación las cuatro partículas están en

-1,0,1,2

y se observa

y=1

con

r=1

. Las verosimilitudes son

0{,}054,\ 0{,}242,\ 0{,}399,\ 0{,}242

(la densidad normal, con el factor

1/\sqrt{2\pi}

) y los pesos

0{,}058,\ 0{,}258,\ 0{,}426,\ 0{,}258

. La media filtrada es

0{,}885

. La verosimilitud media,

0{,}234

, estima cuán probable era la observación, y la suma de los logaritmos de esos promedios en todos los días es la log-verosimilitud del modelo. Para remuestrear se sacan uniformes

0{,}05,\ 0{,}5,\ 0{,}6,\ 0{,}9

y se buscan en los pesos acumulados

0{,}058,\ 0{,}316,\ 0{,}742,\ 1

. Eligen las partículas

1,3,3,4

, así que la nueva nube es

-1,1,1,2

con pesos iguales

0{,}25

y media

0{,}75

Cuatro pasos al día: propagar, ponderar, estimar, remuestrear.
Peso = verosimilitud: solo el paso de ponderación mira la observación de hoy.
Cualquier modelo que se pueda simular: maneja casos no lineales y no gaussianos al precio de un error aleatorio del orden de $1/\sqrt N$ .

¿Cuán cerca de Kalman?En el modelo de beta de Apple, donde Kalman es exacto, un filtro bootstrap con

500

partículas difiere de él en

0{,}016

de media, y con

2000

partículas en

0{,}0065

. Cuadruplicar las partículas redujo el error aproximadamente a la mitad, como predice

1/\sqrt N

Lab: qué se califica

El peso de una partícula15 pts
La media filtrada15 pts
Verosimilitud de la observación15 pts
Tras el remuestreo10 pts
Qué paso usa los datos10 pts
El ciclo diario10 pts
Emparejar el vocabulario10 pts
Por qué las partículas superan a Kalman aquí15 pts

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