Le filtre particulaire bootstrap

Un nuage qui suit l'état

Un filtre particulaire garde la croyance sur l'état caché sous forme d'un nuage de $N$ particules. Chaque particule est une valeur possible de l'état et porte un poids qui dit sa plausibilité. Aucune courbe en cloche n'est supposée : le nuage peut prendre n'importe quelle forme. Chaque jour suit le même cycle. Propager : déplacer chaque particule avec le mouvement aléatoire du modèle. Pondérer : donner à chaque particule un poids égal à la vraisemblance de l'observation du jour pour cette particule. Estimer : la moyenne filtrée est la moyenne pondérée des particules. Rééchantillonner : tirer un nouveau nuage où les bonnes particules sont copiées et les mauvaises disparaissent.

x_t^{(i)}=x_{t-1}^{(i)}+\sqrt q\,z^{(i)},\quad w^{(i)}=p(y_t\mid x_t^{(i)}),\quad \hat m_t=\sum_i\tilde w^{(i)}x_t^{(i)},\quad \hat p(y_t)=\frac1N\sum_i w^{(i)}

(1)

On l'appelle filtre bootstrap parce que la proposition est la plus simple : la transition du modèle lui-même. Le poids d'une particule est alors exactement la vraisemblance. La recette marche pour tout modèle que l'on peut simuler vers l'avant et dont on sait évaluer la vraisemblance de l'observation : états non linéaires, queues épaisses, volatilité cachée, là où le filtre de Kalman n'a pas de réponse exacte. Le prix est l'aléa. Deux exécutions avec des nombres aléatoires différents donnent des réponses un peu différentes, et l'erreur diminue comme $1/\sqrt N$ . En pratique on fixe la graine aléatoire pour pouvoir reproduire une exécution.

Un cycle avec quatre particulesAprès la propagation, les quatre particules sont en

-1,0,1,2

et l'on observe

y=1

avec

r=1

. Les vraisemblances valent

0{,}054,\ 0{,}242,\ 0{,}399,\ 0{,}242

(la densité normale, avec le facteur

1/\sqrt{2\pi}

) et les poids

0{,}058,\ 0{,}258,\ 0{,}426,\ 0{,}258

. La moyenne filtrée est

0{,}885

. La vraisemblance moyenne,

0{,}234

, estime la probabilité de l'observation, et la somme des logarithmes de ces moyennes sur tous les jours est la log-vraisemblance du modèle. Pour rééchantillonner, on tire des uniformes

0{,}05,\ 0{,}5,\ 0{,}6,\ 0{,}9

et on les cherche dans les poids cumulés

0{,}058,\ 0{,}316,\ 0{,}742,\ 1

. Ils choisissent les particules

1,3,3,4

: le nouveau nuage est

-1,1,1,2

avec des poids égaux

0{,}25

et une moyenne de

0{,}75

Quatre étapes par jour : propager, pondérer, estimer, rééchantillonner.
Poids = vraisemblance : seule l'étape de pondération regarde l'observation du jour.
Tout modèle que l'on sait simuler : il traite les cas non linéaires et non gaussiens au prix d'une erreur aléatoire d'ordre $1/\sqrt N$ .

À quel point proche de Kalman ?Sur le modèle de bêta d'Apple, où Kalman est exact, un filtre bootstrap à

500

particules s'en écarte de

0{,}016

en moyenne, et à

2000

particules de

0{,}0065

. Multiplier les particules par quatre a à peu près divisé l'erreur par deux, comme le prédit

1/\sqrt N

Lab : ce qui est noté

Le poids d'une particule15 pts
La moyenne filtrée15 pts
Vraisemblance de l'observation15 pts
Après le rééchantillonnage10 pts
Quelle étape utilise les données10 pts
Le cycle quotidien10 pts
Associer le vocabulaire10 pts
Pourquoi les particules battent Kalman ici15 pts

Un nuage qui suit l'état

x_t^{(i)}=x_{t-1}^{(i)}+\sqrt q\,z^{(i)},\quad w^{(i)}=p(y_t\mid x_t^{(i)}),\quad \hat m_t=\sum_i\tilde w^{(i)}x_t^{(i)},\quad \hat p(y_t)=\frac1N\sum_i w^{(i)}

(1)

Un cycle avec quatre particulesAprès la propagation, les quatre particules sont en

-1,0,1,2

et l'on observe

y=1

avec

r=1

. Les vraisemblances valent

0{,}054,\ 0{,}242,\ 0{,}399,\ 0{,}242

(la densité normale, avec le facteur

1/\sqrt{2\pi}

) et les poids

0{,}058,\ 0{,}258,\ 0{,}426,\ 0{,}258

. La moyenne filtrée est

0{,}885

. La vraisemblance moyenne,

0{,}234

, estime la probabilité de l'observation, et la somme des logarithmes de ces moyennes sur tous les jours est la log-vraisemblance du modèle. Pour rééchantillonner, on tire des uniformes

0{,}05,\ 0{,}5,\ 0{,}6,\ 0{,}9

et on les cherche dans les poids cumulés

0{,}058,\ 0{,}316,\ 0{,}742,\ 1

. Ils choisissent les particules

1,3,3,4

: le nouveau nuage est

-1,1,1,2

avec des poids égaux

0{,}25

et une moyenne de

0{,}75

Quatre étapes par jour : propager, pondérer, estimer, rééchantillonner.
Poids = vraisemblance : seule l'étape de pondération regarde l'observation du jour.
Tout modèle que l'on sait simuler : il traite les cas non linéaires et non gaussiens au prix d'une erreur aléatoire d'ordre $1/\sqrt N$ .

À quel point proche de Kalman ?Sur le modèle de bêta d'Apple, où Kalman est exact, un filtre bootstrap à

500

particules s'en écarte de

0{,}016

en moyenne, et à

2000

particules de

0{,}0065

. Multiplier les particules par quatre a à peu près divisé l'erreur par deux, comme le prédit

1/\sqrt N

Lab : ce qui est noté

Le poids d'une particule15 pts
La moyenne filtrée15 pts
Vraisemblance de l'observation15 pts
Après le rééchantillonnage10 pts
Quelle étape utilise les données10 pts
Le cycle quotidien10 pts
Associer le vocabulaire10 pts
Pourquoi les particules battent Kalman ici15 pts

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