Der Bootstrap-Partikelfilter

Eine Wolke, die dem Zustand folgt

Ein Partikelfilter hält die Überzeugung über den verborgenen Zustand als Wolke aus $N$ Partikeln. Jedes Partikel ist ein möglicher Wert des Zustands und trägt ein Gewicht, das seine Plausibilität angibt. Es wird keine Glockenkurve angenommen, die Wolke kann also jede Form haben. Jeder Tag durchläuft denselben Zyklus. Propagieren: Jedes Partikel mit der eigenen Zufallsbewegung des Modells weiterbewegen. Gewichten: Jedem Partikel ein Gewicht geben, das der Likelihood der heutigen Beobachtung bei diesem Partikel entspricht. Schätzen: Der gefilterte Mittelwert ist der gewichtete Durchschnitt der Partikel. Neu ziehen: Eine frische Wolke ziehen, in der gute Partikel kopiert werden und schlechte verschwinden.

x_t^{(i)}=x_{t-1}^{(i)}+\sqrt q\,z^{(i)},\quad w^{(i)}=p(y_t\mid x_t^{(i)}),\quad \hat m_t=\sum_i\tilde w^{(i)}x_t^{(i)},\quad \hat p(y_t)=\frac1N\sum_i w^{(i)}

(1)

Er heißt Bootstrap-Filter, weil der Vorschlag der einfachste ist: der Übergang des Modells selbst. Damit ist das Gewicht eines Partikels genau die Likelihood. Das Rezept funktioniert für jedes Modell, das man vorwärts simulieren kann und dessen Beobachtungs-Likelihood man auswerten kann: nichtlineare Zustände, dicke Ränder, verborgene Volatilität, wo das Kalman-Filter keine exakte Antwort hat. Der Preis ist der Zufall. Zwei Läufe mit verschiedenen Zufallszahlen geben leicht verschiedene Antworten, und der Fehler schrumpft wie $1/\sqrt N$ . In der Praxis fixiert man den Zufalls-Seed, damit ein Lauf reproduzierbar ist.

Ein Zyklus mit vier PartikelnNach dem Propagieren liegen die vier Partikel bei

-1,0,1,2

, und man beobachtet

y=1

mit

r=1

. Die Likelihoods sind

0{,}054,\ 0{,}242,\ 0{,}399,\ 0{,}242

(die Normaldichte mit dem Faktor

1/\sqrt{2\pi}

) und die Gewichte

0{,}058,\ 0{,}258,\ 0{,}426,\ 0{,}258

. Der gefilterte Mittelwert ist

0{,}885

. Die mittlere Likelihood,

0{,}234

, schätzt, wie wahrscheinlich die Beobachtung war, und die Summe der Logarithmen dieser Mittel über alle Tage ist die Log-Likelihood des Modells. Zum Neuziehen nimmt man Gleichverteilte

0{,}05,\ 0{,}5,\ 0{,}6,\ 0{,}9

und sucht sie in den kumulierten Gewichten

0{,}058,\ 0{,}316,\ 0{,}742,\ 1

. Sie wählen die Partikel

1,3,3,4

, die neue Wolke ist also

-1,1,1,2

mit gleichen Gewichten

0{,}25

und Mittelwert

0{,}75

Vier Schritte pro Tag: propagieren, gewichten, schätzen, neu ziehen.
Gewicht = Likelihood: Nur der Gewichtungsschritt schaut auf die heutige Beobachtung.
Jedes Modell, das man simulieren kann: Es bewältigt nichtlineare und nicht-gaußsche Fälle zum Preis eines Zufallsfehlers der Ordnung $1/\sqrt N$ .

Wie nah am Kalman-Filter?Beim Apple-Beta-Modell, wo Kalman exakt ist, weicht ein Bootstrap-Filter mit

500

Partikeln im Mittel um

0{,}016

davon ab, mit

2000

Partikeln um

0{,}0065

. Vervierfachen der Partikel halbierte den Fehler ungefähr, wie

1/\sqrt N

es vorhersagt.

Lab: Was bewertet wird

Das Gewicht eines Partikels15 Pkt.
Der gefilterte Mittelwert15 Pkt.
Likelihood der Beobachtung15 Pkt.
Nach dem Neuziehen10 Pkt.
Welcher Schritt die Daten nutzt10 Pkt.
Der Tageszyklus10 Pkt.
Begriffe zuordnen10 Pkt.
Warum Partikel hier Kalman schlagen15 Pkt.

Eine Wolke, die dem Zustand folgt

x_t^{(i)}=x_{t-1}^{(i)}+\sqrt q\,z^{(i)},\quad w^{(i)}=p(y_t\mid x_t^{(i)}),\quad \hat m_t=\sum_i\tilde w^{(i)}x_t^{(i)},\quad \hat p(y_t)=\frac1N\sum_i w^{(i)}

(1)

Ein Zyklus mit vier PartikelnNach dem Propagieren liegen die vier Partikel bei

-1,0,1,2

, und man beobachtet

y=1

mit

r=1

. Die Likelihoods sind

0{,}054,\ 0{,}242,\ 0{,}399,\ 0{,}242

(die Normaldichte mit dem Faktor

1/\sqrt{2\pi}

) und die Gewichte

0{,}058,\ 0{,}258,\ 0{,}426,\ 0{,}258

. Der gefilterte Mittelwert ist

0{,}885

. Die mittlere Likelihood,

0{,}234

, schätzt, wie wahrscheinlich die Beobachtung war, und die Summe der Logarithmen dieser Mittel über alle Tage ist die Log-Likelihood des Modells. Zum Neuziehen nimmt man Gleichverteilte

0{,}05,\ 0{,}5,\ 0{,}6,\ 0{,}9

und sucht sie in den kumulierten Gewichten

0{,}058,\ 0{,}316,\ 0{,}742,\ 1

. Sie wählen die Partikel

1,3,3,4

, die neue Wolke ist also

-1,1,1,2

mit gleichen Gewichten

0{,}25

und Mittelwert

0{,}75

Vier Schritte pro Tag: propagieren, gewichten, schätzen, neu ziehen.
Gewicht = Likelihood: Nur der Gewichtungsschritt schaut auf die heutige Beobachtung.
Jedes Modell, das man simulieren kann: Es bewältigt nichtlineare und nicht-gaußsche Fälle zum Preis eines Zufallsfehlers der Ordnung $1/\sqrt N$ .

Wie nah am Kalman-Filter?Beim Apple-Beta-Modell, wo Kalman exakt ist, weicht ein Bootstrap-Filter mit

500

Partikeln im Mittel um

0{,}016

davon ab, mit

2000

Partikeln um

0{,}0065

. Vervierfachen der Partikel halbierte den Fehler ungefähr, wie

1/\sqrt N

es vorhersagt.

Lab: Was bewertet wird

Das Gewicht eines Partikels15 Pkt.
Der gefilterte Mittelwert15 Pkt.
Likelihood der Beobachtung15 Pkt.
Nach dem Neuziehen10 Pkt.
Welcher Schritt die Daten nutzt10 Pkt.
Der Tageszyklus10 Pkt.
Begriffe zuordnen10 Pkt.
Warum Partikel hier Kalman schlagen15 Pkt.

Eine Wolke, die dem Zustand folgt

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Eine Wolke, die dem Zustand folgt

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