Esquemas de remuestreo y degeneración

Posición en la rutaMódulo 2 de 3 · Tema 3 de 5

2.3 Esquemas de remuestreo y degeneración

—Puntuación del lab— / 100XP total—Racha—

Cuando los pesos se colapsan

Los pesos se multiplican de un día a otro. Una partícula que explica mal unas pocas observaciones recibe un peso diminuto, y los pesos diminutos nunca se recuperan. Tras suficientes días una partícula lleva casi todo el peso y las demás son trabajo perdido. Es la degeneración de pesos, que mide el tamaño muestral efectivo $1/\sum\tilde w^{2}$ . En SPY con $1000$ partículas y sin remuestreo, vale $960$ tras el primer día, $368$ tras diez, $52$ tras cincuenta y unos $1{,}3$ tras $250$ días. Un filtro reducido a una partícula es una sola conjetura, no una nube.

\mathrm{ESS}=\frac{1}{\sum_i\tilde w_i^{2}},\qquad \mathrm{ESS}<\frac N2,\qquad \frac{u+i}{N},\ \ i=0,\dots,N-1

(1)

El remuestreo cura la degeneración: se saca una nube nueva de $N$ partículas en la que una partícula de peso $\tilde w_i$ aparece en promedio $N\tilde w_i$ veces, y luego se da a cada copia el mismo peso $1/N$ . Hay varias formas de sacarla. El multinomial saca $N$ uniformes independientes. El sistemático saca un solo uniforme $u$ y usa $N$ punteros equiespaciados $(u+i)/N$ sobre los pesos acumulados. El estratificado saca un uniforme en cada una de las $N$ rebanadas iguales. El residual da primero a cada partícula sus copias enteras, $\lfloor N\tilde w_i\rfloor$ , y solo sortea el resto. El sistemático es el más barato y el más usado.

Remuestreo sistemático a manoTomemos cuatro partículas en

-1,0,1,2

con pesos

0{,}058,\ 0{,}258,\ 0{,}426,\ 0{,}258

. Los pesos acumulados son

0{,}058,\ 0{,}316,\ 0{,}742,\ 1

. Saquemos

u=0{,}3

. Los punteros son

(0{,}3+i)/4=0{,}075,\ 0{,}325,\ 0{,}575,\ 0{,}825

. El puntero

0{,}075

cae en la segunda casilla,

0{,}325

0{,}575

en la tercera,

0{,}825

en la cuarta. La nube nueva es

0,1,1,2

: la partícula en

-1

desaparece y la pesada en

1

se copia dos veces, cerca de sus

4\times0{,}426=1{,}7

copias esperadas. Caso peligroso: con pesos

0{,}97,\ 0{,}01,\ 0{,}01,\ 0{,}01

el tamaño muestral efectivo es

1{,}06

y cualquier juego de punteros elige solo la primera partícula, así que la nube se reduce a un valor distinto.

Remuestrear cuando el ESS es bajo: regla común $\mathrm{ESS}<N/2$ . Remuestrear cada día desperdicia diversidad.
El sistemático usa un solo número aleatorio: los punteros $(u+i)/N$ sobre los pesos acumulados dan un sorteo barato y de poco ruido.
El precio es el empobrecimiento: muchas copias de pocas partículas dejan la nube con poca variedad, que el siguiente paso de propagación debe reconstruir.

Lab: qué se califica

Copias esperadas15 pts
Un puntero sistemático10 pts
Pesos colapsados15 pts
Supervivientes distintas10 pts
Hay que remuestrear hoy10 pts
Remuestreo sistemático10 pts
Emparejar los esquemas15 pts
Por qué remuestrear15 pts

0/ 8 respondidos

1Respuesta numérica15 ptsSin responder

Con $N=4$ partículas, una partícula con peso normalizado $0{,}426$ aparece $N\tilde w$ veces tras el remuestreo. ¿Cuánto es ese número? Dé dos decimales.

n =

aceptado: ± 0.02

2Respuesta numérica10 ptsSin responder

El remuestreo sistemático con $N=4$ y $u=0{,}3$ usa los punteros $(u+i)/N$ . ¿Cuánto vale el segundo puntero, $i=1$ ? Dé tres decimales.

p =

aceptado: ± 0.001

3Respuesta numérica15 ptsSin responder

Los pesos normalizados son $0{,}97,\ 0{,}01,\ 0{,}01,\ 0{,}01$ . ¿Cuánto vale el tamaño muestral efectivo $1/\sum\tilde w^{2}$ ? Dé dos decimales.

ess =

aceptado: ± 0.01

4Respuesta numérica10 ptsSin responder

Los pesos son $0{,}97,\ 0{,}01,\ 0{,}01,\ 0{,}01$ y el remuestreo sistemático usa $N=4$ punteros con $u=0{,}5$ . ¿Cuántas partículas originales distintas aparecen en la nube nueva?

k =

aceptado: ± 0.01

5Elección10 ptsSin responder

Hay $N=1000$ partículas y el tamaño muestral efectivo de hoy es $620$ . Con la regla «remuestrear si ESS < N/2», ¿qué hace?

6Ordenar los pasos10 ptsSin responder

Ponga en orden los pasos del remuestreo sistemático.

Arrastra para reordenar, o enfoca un elemento, pulsa Espacio para levantarlo, las flechas para moverlo y Espacio para soltarlo.

1Para cada puntero tomar la primera partícula cuyo peso acumulado lo alcanza
2Sumar los pesos en pesos acumulados
3Colocar N punteros equiespaciados (u + i) / N
4Sacar un solo número uniforme u
5Dar a cada copia el peso 1 / N

7Emparejar15 ptsSin responder

Empareje cada esquema de remuestreo con su forma de sortear.

Elige la pareja de cada elemento de la izquierda.

Multinomial

Sistemático

Estratificado

Residual

8Explicar con palabras15 ptsSin responder

En una o dos frases, explique por qué un filtro de partículas necesita remuestreo y qué cuesta.

Se califica por:Sin él pocas partículas acaban con casi todo el peso y las demás se desperdicianEl precio es la pérdida de diversidad, pues quedan muchas copias de pocas partículas y se añade aleatoriedad0 / 400 caracteres

Modo matemáticasEntrada por teclado o LaTeXEjercicio 1 de 8 · Ctrl ⏎ para comprobar

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2.3 Esquemas de remuestreo y degeneración

—Puntuación del lab— / 100XP total—Racha—

Cuando los pesos se colapsan

\mathrm{ESS}=\frac{1}{\sum_i\tilde w_i^{2}},\qquad \mathrm{ESS}<\frac N2,\qquad \frac{u+i}{N},\ \ i=0,\dots,N-1

(1)

Remuestreo sistemático a manoTomemos cuatro partículas en

-1,0,1,2

con pesos

0{,}058,\ 0{,}258,\ 0{,}426,\ 0{,}258

. Los pesos acumulados son

0{,}058,\ 0{,}316,\ 0{,}742,\ 1

. Saquemos

u=0{,}3

. Los punteros son

(0{,}3+i)/4=0{,}075,\ 0{,}325,\ 0{,}575,\ 0{,}825

. El puntero

0{,}075

cae en la segunda casilla,

0{,}325

0{,}575

en la tercera,

0{,}825

en la cuarta. La nube nueva es

0,1,1,2

: la partícula en

-1

desaparece y la pesada en

1

se copia dos veces, cerca de sus

4\times0{,}426=1{,}7

copias esperadas. Caso peligroso: con pesos

0{,}97,\ 0{,}01,\ 0{,}01,\ 0{,}01

el tamaño muestral efectivo es

1{,}06

y cualquier juego de punteros elige solo la primera partícula, así que la nube se reduce a un valor distinto.

Remuestrear cuando el ESS es bajo: regla común $\mathrm{ESS}<N/2$ . Remuestrear cada día desperdicia diversidad.
El sistemático usa un solo número aleatorio: los punteros $(u+i)/N$ sobre los pesos acumulados dan un sorteo barato y de poco ruido.
El precio es el empobrecimiento: muchas copias de pocas partículas dejan la nube con poca variedad, que el siguiente paso de propagación debe reconstruir.

Lab: qué se califica

Copias esperadas15 pts
Un puntero sistemático10 pts
Pesos colapsados15 pts
Supervivientes distintas10 pts
Hay que remuestrear hoy10 pts
Remuestreo sistemático10 pts
Emparejar los esquemas15 pts
Por qué remuestrear15 pts

0/ 8 respondidos

1Respuesta numérica15 ptsSin responder

Con $N=4$ partículas, una partícula con peso normalizado $0{,}426$ aparece $N\tilde w$ veces tras el remuestreo. ¿Cuánto es ese número? Dé dos decimales.

n =

aceptado: ± 0.02

2Respuesta numérica10 ptsSin responder

El remuestreo sistemático con $N=4$ y $u=0{,}3$ usa los punteros $(u+i)/N$ . ¿Cuánto vale el segundo puntero, $i=1$ ? Dé tres decimales.

p =

aceptado: ± 0.001

3Respuesta numérica15 ptsSin responder

Los pesos normalizados son $0{,}97,\ 0{,}01,\ 0{,}01,\ 0{,}01$ . ¿Cuánto vale el tamaño muestral efectivo $1/\sum\tilde w^{2}$ ? Dé dos decimales.

ess =

aceptado: ± 0.01

4Respuesta numérica10 ptsSin responder

Los pesos son $0{,}97,\ 0{,}01,\ 0{,}01,\ 0{,}01$ y el remuestreo sistemático usa $N=4$ punteros con $u=0{,}5$ . ¿Cuántas partículas originales distintas aparecen en la nube nueva?

k =

aceptado: ± 0.01

5Elección10 ptsSin responder

Hay $N=1000$ partículas y el tamaño muestral efectivo de hoy es $620$ . Con la regla «remuestrear si ESS < N/2», ¿qué hace?

6Ordenar los pasos10 ptsSin responder

Ponga en orden los pasos del remuestreo sistemático.

Arrastra para reordenar, o enfoca un elemento, pulsa Espacio para levantarlo, las flechas para moverlo y Espacio para soltarlo.

1Para cada puntero tomar la primera partícula cuyo peso acumulado lo alcanza
2Sumar los pesos en pesos acumulados
3Colocar N punteros equiespaciados (u + i) / N
4Sacar un solo número uniforme u
5Dar a cada copia el peso 1 / N

7Emparejar15 ptsSin responder

Empareje cada esquema de remuestreo con su forma de sortear.

Elige la pareja de cada elemento de la izquierda.

Multinomial

Sistemático

Estratificado

Residual

8Explicar con palabras15 ptsSin responder

En una o dos frases, explique por qué un filtro de partículas necesita remuestreo y qué cuesta.

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