Filtrado de la volatilidad estocástica

La volatilidad que no se ve

Los rendimientos vienen en períodos tranquilos y en tormentas, así que la dispersión de un rendimiento cambia de un día a otro y nadie la publica. El modelo de volatilidad estocástica trata el logaritmo de la varianza, $h_t$, como un estado oculto. Se mueve como una autorregresión de primer orden en torno a un nivel de largo plazo $\mu$: una fracción $\varphi$ de la brecha de ayer permanece y llega un choque nuevo de tamaño $\sigma$. El rendimiento es una campana con varianza $e^{h_t}$. El logaritmo mantiene la varianza positiva y hace que los choques la multipliquen. Tres números describen el modelo: el nivel $\mu$, la persistencia $\varphi$ (cerca de $1$, los choques de volatilidad duran) y la volatilidad de la volatilidad $\sigma$.

El estado oculto está dentro de una exponencial, así que la observación es una función no lineal de él y el filtro de Kalman no tiene respuesta exacta. Un filtro de partículas bootstrap sí. Se parte de partículas de la distribución de largo plazo de $h$. Cada día se mueve cada partícula con la autorregresión, se pondera con la densidad normal del rendimiento con varianza $e^{h}$ y se remuestrea cuando el tamaño muestral efectivo es bajo. La volatilidad filtrada es la raíz del promedio ponderado de $e^{h}$, y multiplicar por $\sqrt{252}$ pasa de diario a anual. El promedio de las verosimilitudes de las partículas da además la log-verosimilitud de los parámetros, que usa el siguiente tema.

Con los $5\,404$ rendimientos de SPY desde 2005, con $\mu=\ln(\overline{r^{2}})=-8{,}85$, $\varphi=0{,}98$, $\sigma=0{,}15$ y $1000$ partículas, la volatilidad anual filtrada promedia $8{,}7\%$ en 2017 y $30{,}8\%$ en 2008, con un máximo de $79{,}5\%$ el 15 de octubre de 2008. La log-verosimilitud es $17\,752$, frente a $16\,252$ con volatilidad constante, una ganancia de unos $1\,500$. El tamaño muestral efectivo tiene mediana $966$ de $1000$, pero cae a $3{,}3$ el 10 de octubre de 2018 ($-3{,}2\%$ tras un período tranquilo, con la volatilidad filtrada saltando de $7{,}9\%$ a $18{,}9\%$). Tras la calma, casi ninguna partícula tiene una volatilidad lo bastante alta para explicar un choque.

• El estado oculto es el log-varianza: mantiene la varianza positiva y hace que los choques la multipliquen.
• Los pesos favorecen la volatilidad que explica el rendimiento: un rendimiento grande eleva las partículas tormentosas y uno pequeño las tranquilas.
• Vigile el ESS tras la calma: una gran sorpresa puede dejar muy pocas partículas útiles.

Lab: qué se califica

• La dispersión de largo plazo15 pts
• Volatilidad anual de una partícula10 pts
• La media prevista15 pts
• Una densidad normal10 pts
• Un cociente de pesos15 pts
• Por qué el log-varianza10 pts
• Emparejar el vocabulario10 pts
• Por qué no usar solo el rendimiento15 pts