Filtrage de la volatilité stochastique

La volatilité que l'on ne voit pas

Les rendements alternent périodes calmes et tempêtes, donc l'écart d'un rendement change d'un jour à l'autre, et personne ne le publie. Le modèle de volatilité stochastique traite le logarithme de la variance, $h_t$, comme un état caché. Il évolue comme une autorégression d'ordre un autour d'un niveau de long terme $\mu$ : une fraction $\varphi$ de l'écart d'hier subsiste et un choc neuf de taille $\sigma$ arrive. Le rendement est une cloche de variance $e^{h_t}$. Le logarithme garde la variance positive et fait multiplier les chocs. Trois nombres décrivent le modèle : le niveau $\mu$, la persistance $\varphi$ (près de $1$, les chocs de volatilité durent) et la volatilité de la volatilité $\sigma$.

L'état caché est dans une exponentielle, donc l'observation en est une fonction non linéaire et le filtre de Kalman n'a pas de réponse exacte. Un filtre particulaire bootstrap en a une. On part des particules tirées dans la loi de long terme de $h$. Chaque jour, on déplace chaque particule avec l'autorégression, on la pondère par la densité normale du rendement de variance $e^{h}$, et on rééchantillonne quand la taille d'échantillon effective est basse. La volatilité filtrée est la racine de la moyenne pondérée de $e^{h}$, et multiplier par $\sqrt{252}$ passe du quotidien à l'annuel. La moyenne des vraisemblances des particules donne aussi la log-vraisemblance des paramètres, que le sujet suivant utilise.

Sur les $5\,404$ rendements de SPY depuis 2005, avec $\mu=\ln(\overline{r^{2}})=-8{,}85$, $\varphi=0{,}98$, $\sigma=0{,}15$ et $1000$ particules, la volatilité annuelle filtrée vaut en moyenne $8{,}7\%$ en 2017 et $30{,}8\%$ en 2008, avec un pic à $79{,}5\%$ le 15 octobre 2008. La log-vraisemblance est $17\,752$, contre $16\,252$ pour une volatilité constante, un gain d'environ $1\,500$. La taille d'échantillon effective a une médiane de $966$ sur $1000$, mais tombe à $3{,}3$ le 10 octobre 2018 ($-3{,}2\%$ après une période calme, la volatilité filtrée passant de $7{,}9\%$ à $18{,}9\%$). Après le calme, presque aucune particule n'a une volatilité assez haute pour expliquer un choc.

• L'état caché est le log-variance : il garde la variance positive et fait multiplier les chocs.
• Les poids favorisent la volatilité qui explique le rendement : un grand rendement soulève les particules orageuses, un petit les calmes.
• Surveillez l'ESS après le calme : une grosse surprise peut ne laisser que très peu de particules utiles.

Lab : ce qui est noté

• L'écart de long terme15 pts
• Volatilité annuelle d'une particule10 pts
• La moyenne prévue15 pts
• Une densité normale10 pts
• Un rapport de poids15 pts
• Pourquoi le log-variance10 pts
• Associer le vocabulaire10 pts
• Pourquoi ne pas simplement utiliser le rendement15 pts