Apprendre les paramètres

Apprendre les nombres du modèle lui-même

Jusqu'ici les nombres du modèle, comme $q$ , $r$ , $\mu$ , $\varphi$ et $\sigma$ , étaient donnés. En pratique il faut les apprendre sur les mêmes données. Un filtre particulaire aide de deux façons. D'abord il estime la vraisemblance des données pour un choix $\theta$ des nombres : chaque jour, la moyenne des poids des particules estime la probabilité du rendement du jour, et la somme des logarithmes de ces moyennes est la log-vraisemblance. On lance le filtre pour plusieurs choix de $\theta$ sur une grille, toujours avec les mêmes nombres aléatoires pour que la comparaison soit lisse, et l'on garde le meilleur. L'estimation est bruitée, avec un écart d'environ $3$ sur une log-vraisemblance proche de $17\,750$ : seuls des écarts plus grands comptent.

\log\hat L(\theta)=\sum_t\log\left(\frac1N\sum_i w_t^{(i)}\right),\qquad h^{2}=1-\left(\frac{3\delta-1}{2\delta}\right)^{2},\quad a=\sqrt{1-h^{2}},\quad \theta'=a\,\theta+(1-a)\,\bar\theta+h\sqrt V\,z

(1)

La seconde voie place le nombre inconnu dans l'état : chaque particule porte sa propre valeur de $\theta$ . Cela échoue si $\theta$ ne bouge jamais, car le rééchantillonnage copie alors quelques valeurs et le nuage de $\theta$ se réduit à un point. Le remède de Liu et West déplace un peu le $\theta$ de chaque particule après chaque rééchantillonnage, mais de façon à conserver la moyenne et la dispersion du nuage. On choisit un facteur d'escompte $\delta$ près de $1$ (par exemple $0{,}95$ ). Alors $h^{2}=1-\big((3\delta-1)/(2\delta)\big)^{2}$ et $a=\sqrt{1-h^{2}}$ . Chaque valeur est d'abord tirée vers la moyenne du nuage $\bar\theta$ du facteur $a$ , puis agitée par un bruit de variance $h^{2}V$ , où $V$ est la variance du nuage. Un $\delta$ plus petit donne plus d'agitation.

Les chiffres de Liu-West et de SPYAvec

\delta=0{,}95

(3\delta-1)/(2\delta)=0{,}9737

, donc

h^{2}=1-0{,}9737^{2}=0{,}0519

a=0{,}9737

. Une particule de

\theta=0{,}90

dans un nuage de moyenne

0{,}97

est tirée à

0{,}9737\times0{,}90+0{,}0263\times0{,}97=0{,}902

. Si la variance du nuage est

V=0{,}0004

, l'agitation a pour variance

0{,}0519\times0{,}0004

et pour écart type

0{,}0046

. Sur SPY, la log-vraisemblance de volatilité stochastique sur une grille culmine à

\varphi=0{,}98

\sigma=0{,}25

avec

17\,793

, contre

16\,252

pour une volatilité constante. Son BIC à

3

nombres,

-2\times17\,793{,}1+3\ln5404=-35\,560

, bat le modèle de Markov caché à 3 états (

-35\,485

) et même celui à 4 états (

-35\,557

Vraisemblance par filtrage : la somme des logarithmes des poids moyens, avec les mêmes nombres aléatoires pour chaque choix.
Paramètres dans l'état : demande une petite agitation après rééchantillonnage, sinon le nuage de paramètres s'effondre.
Comparer équitablement les modèles : une log-vraisemblance demande une pénalité pour le nombre de paramètres, comme le BIC.

Lab : ce qui est noté

Le gain de log-vraisemblance10 pts
La constante h au carré de Liu-West15 pts
Le facteur de rapprochement a10 pts
Une particule rapprochée15 pts
La taille de l'agitation10 pts
Un BIC15 pts
Paramètres sans agitation10 pts
Pourquoi comparer avec un écart d'environ 315 pts

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\log\hat L(\theta)=\sum_t\log\left(\frac1N\sum_i w_t^{(i)}\right),\qquad h^{2}=1-\left(\frac{3\delta-1}{2\delta}\right)^{2},\quad a=\sqrt{1-h^{2}},\quad \theta'=a\,\theta+(1-a)\,\bar\theta+h\sqrt V\,z

(1)

Les chiffres de Liu-West et de SPYAvec

\delta=0{,}95

(3\delta-1)/(2\delta)=0{,}9737

, donc

h^{2}=1-0{,}9737^{2}=0{,}0519

a=0{,}9737

. Une particule de

\theta=0{,}90

dans un nuage de moyenne

0{,}97

est tirée à

0{,}9737\times0{,}90+0{,}0263\times0{,}97=0{,}902

. Si la variance du nuage est

V=0{,}0004

, l'agitation a pour variance

0{,}0519\times0{,}0004

et pour écart type

0{,}0046

. Sur SPY, la log-vraisemblance de volatilité stochastique sur une grille culmine à

\varphi=0{,}98

\sigma=0{,}25

avec

17\,793

, contre

16\,252

pour une volatilité constante. Son BIC à

3

nombres,

-2\times17\,793{,}1+3\ln5404=-35\,560

, bat le modèle de Markov caché à 3 états (

-35\,485

) et même celui à 4 états (

-35\,557

Vraisemblance par filtrage : la somme des logarithmes des poids moyens, avec les mêmes nombres aléatoires pour chaque choix.
Paramètres dans l'état : demande une petite agitation après rééchantillonnage, sinon le nuage de paramètres s'effondre.
Comparer équitablement les modèles : une log-vraisemblance demande une pénalité pour le nombre de paramètres, comme le BIC.

Lab : ce qui est noté

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La constante h au carré de Liu-West15 pts
Le facteur de rapprochement a10 pts
Une particule rapprochée15 pts
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