Aprender os parâmetros

Aprender os números do próprio modelo

Até agora os números do modelo, como $q$, $r$, $\mu$, $\varphi$ e $\sigma$, eram dados. Na prática é preciso aprendê-los dos mesmos dados. Um filtro de partículas ajuda de duas formas. Primeiro, estima a verossimilhança dos dados para uma escolha $\theta$ dos números: a cada dia, a média dos pesos das partículas estima quão provável era o retorno do dia, e a soma dos logaritmos dessas médias é a log-verossimilhança. Roda-se o filtro para várias escolhas de $\theta$ numa grade, sempre com os mesmos números aleatórios para a comparação ser suave, e fica-se com a melhor. A estimativa é ruidosa, com dispersão de cerca de $3$ numa log-verossimilhança perto de $17\,750$, então só diferenças maiores importam.

A segunda via põe o número desconhecido dentro do estado: cada partícula carrega seu próprio valor de $\theta$. Falha se $\theta$ nunca se move, pois a reamostragem copia poucos valores e a nuvem de $\theta$ se reduz a um ponto. O remédio de Liu e West move um pouco o $\theta$ de cada partícula após cada reamostragem, mas de modo a conservar a média e a dispersão da nuvem. Escolhe-se um desconto $\delta$ perto de $1$ (como $0{,}95$). Então $h^{2}=1-\big((3\delta-1)/(2\delta)\big)^{2}$ e $a=\sqrt{1-h^{2}}$. Cada valor é primeiro puxado para a média da nuvem $\bar\theta$ pelo fator $a$ e depois agitado por ruído de variância $h^{2}V$, em que $V$ é a variância da nuvem. Um $\delta$ menor significa mais agitação.

• Verossimilhança por filtragem: a soma dos logaritmos dos pesos médios, com os mesmos números aleatórios para cada escolha.
• Parâmetros no estado: exige uma pequena agitação após a reamostragem, ou a nuvem de parâmetros colapsa.
• Compare modelos com justiça: uma log-verossimilhança precisa de uma penalidade pelo número de parâmetros, como o BIC.

Lab: o que é avaliado

• O ganho de log-verossimilhança10 pts
• A constante h ao quadrado de Liu-West15 pts
• O fator de encolhimento a10 pts
• Uma partícula encolhida15 pts
• O tamanho da agitação10 pts
• Um BIC15 pts
• Parâmetros sem agitação10 pts
• Por que comparar com uma diferença de cerca de 315 pts