Detecção de deriva e pontos de mudança

Quando o mercado muda de ideia

Uma série é estacionária se suas estatísticas, como a média e a dispersão, não mudam com o tempo. Os mercados não são. Uma estratégia pode ter média estável por anos e depois perdê-la, a volatilidade pode ficar perto de $7\%$ e depois saltar, e uma correlação pode quebrar numa crise. Essas mudanças têm três formas: um salto repentino (mudança de nível), um deslizamento lento (deriva) e uma troca entre regimes. O retorno do SPY tem volatilidade anual de $6{,}8\%$ em 2017, $41{,}1\%$ em 2008 e $33{,}7\%$ em 2020. Uma única estimativa com todo o histórico não descreve bem nenhum desses anos, então é preciso notar as mudanças e depois se adaptar.

x_t=\frac{r_t^{2}}{\sigma_0^{2}},\qquad S_t=\max\left(0,\ S_{t-1}+x_t-1-k\right),\qquad S_t>h

(1)

O detector CUSUM (soma acumulada) é a ferramenta clássica. Fixa-se uma volatilidade de base $\sigma_0$ de um período calmo e mede-se cada dia por $x_t=r_t^{2}/\sigma_0^{2}$ , que tem média $1$ enquanto nada mudou. Soma-se $x_t-1-k$ a um total corrente $S$ a cada dia, em que $k$ é uma folga que ignora pequenos excessos, e nunca se deixa o total cair abaixo de zero. Quando o total passa de um limiar $h$ , dispara-se o alarme. Voltar a zero é a chave: um longo período calmo não pode acumular crédito que depois esconda uma mudança real. Um $k$ ou $h$ pequeno reage mais rápido mas dá mais alarmes falsos.

Uma passada à mão e o SPY realTomemos

x=0{,}5,\ 3,\ 4,\ 2,\ 0{,}2

com

k=0{,}5

h=4

. O total vai

S=0,\ 1{,}5,\ 4{,}0,\ 4{,}5,\ 3{,}2

. Passa de

4

pela primeira vez no dia

4

. Um dia de

-2\%

, com

\sigma_0=0{,}431\%

diário, dá

x=(2/0{,}431)^{2}=21{,}5

, um passo enorme. No SPY, com a base tirada de 2017 (

6{,}85\%

ao ano),

k=0{,}5

h=5

, o primeiro alarme é em 26 de janeiro de 2018, dias antes da queda de fevereiro de 2018, e em 16 de março de 2020 o total passa de

3000

. A razão de variâncias entre 2008 e 2017 é

(41{,}1/6{,}75)^{2}=37

vezes.

Detectar é só metade do trabalho. Um filtro de partículas também pode levantar uma bandeira sozinho: quando o retorno de hoje é muito improvável sob a nuvem atual, a verossimilhança média é minúscula e o tamanho amostral efetivo desaba, como em 10 de outubro de 2018. Após um alarme pode-se alargar o ruído do filtro para que siga mais rápido o novo nível, reiniciá-lo de uma crença mais plana ou passar a um estimador de memória mais curta, que é o próximo tópico.

Três formas de mudança: um salto, uma deriva e uma troca de regime.
CUSUM: um total corrente de excesso de evidência que volta a zero e dispara um alarme acima de um limiar.
Velocidade contra alarmes falsos: um limiar mais baixo acha as mudanças mais cedo mas dá mais alarmes falsos.

Lab: o que é avaliado

O total no dia dois10 pts
O total no dia quatro10 pts
O primeiro dia de alarme10 pts
Um retorno ao quadrado padronizado15 pts
Uma razão de variâncias10 pts
Baixar o limiar10 pts
Um laço de monitoramento10 pts
Associar o vocabulário10 pts
Por que voltar a zero15 pts

Quando o mercado muda de ideia

x_t=\frac{r_t^{2}}{\sigma_0^{2}},\qquad S_t=\max\left(0,\ S_{t-1}+x_t-1-k\right),\qquad S_t>h

(1)

Uma passada à mão e o SPY realTomemos

x=0{,}5,\ 3,\ 4,\ 2,\ 0{,}2

com

k=0{,}5

h=4

. O total vai

S=0,\ 1{,}5,\ 4{,}0,\ 4{,}5,\ 3{,}2

. Passa de

4

pela primeira vez no dia

4

. Um dia de

-2\%

, com

\sigma_0=0{,}431\%

diário, dá

x=(2/0{,}431)^{2}=21{,}5

, um passo enorme. No SPY, com a base tirada de 2017 (

6{,}85\%

ao ano),

k=0{,}5

h=5

, o primeiro alarme é em 26 de janeiro de 2018, dias antes da queda de fevereiro de 2018, e em 16 de março de 2020 o total passa de

3000

. A razão de variâncias entre 2008 e 2017 é

(41{,}1/6{,}75)^{2}=37

vezes.

Três formas de mudança: um salto, uma deriva e uma troca de regime.
CUSUM: um total corrente de excesso de evidência que volta a zero e dispara um alarme acima de um limiar.
Velocidade contra alarmes falsos: um limiar mais baixo acha as mudanças mais cedo mas dá mais alarmes falsos.

Lab: o que é avaliado

O total no dia dois10 pts
O total no dia quatro10 pts
O primeiro dia de alarme10 pts
Um retorno ao quadrado padronizado15 pts
Uma razão de variâncias10 pts
Baixar o limiar10 pts
Um laço de monitoramento10 pts
Associar o vocabulário10 pts
Por que voltar a zero15 pts

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