漂移检测与变点

当市场改变主意时

如果一个序列的均值、离散程度等统计量不随时间变化，它就是平稳的。市场不是这样：一个策略可能多年保持稳定的均值，随后失去它；波动率可能停留在 $7\%$ 附近，随后跳升；相关性可能在危机中破裂。这些变化有三种形式：突然的跳变（水平变化）、缓慢的滑动（漂移）以及状态之间的切换。SPY 收益的年化波动率 2017 年为 $6.8\%$ ，2008 年为 $41.1\%$ ，2020 年为 $33.7\%$ 。用全部历史得到的单一估计对这几年都描述不好，所以需要先发现变化，再去适应。

x_t=\frac{r_t^{2}}{\sigma_0^{2}},\qquad S_t=\max\left(0,\ S_{t-1}+x_t-1-k\right),\qquad S_t>h

(1)

CUSUM（累积和）检测器是经典工具。先用一段平静期确定基准波动率 $\sigma_0$ ，每天用 $x_t=r_t^{2}/\sigma_0^{2}$ 来度量，在没有变化时它的平均值是 $1$ 。每天把 $x_t-1-k$ 加进一个累计值 $S$ ，其中 $k$ 是忽略小幅超出的容许量，并且不让累计值低于零。当累计值超过阈值 $h$ 时就发出警报。归零是关键：一段很长的平静期不能攒下“信用”，以免之后掩盖真正的变化。 $k$ 或 $h$ 越小，反应越快，但误报也越多。

手算一遍与真实的 SPY取

x=0.5,\ 3,\ 4,\ 2,\ 0.2

，

k=0.5

，

h=4

。累计值依次为

S=0,\ 1.5,\ 4.0,\ 4.5,\ 3.2

，在第

4

天首次超过

4

。若

\sigma_0=0.431\%

（日），一个

-2\%

的日子给出

x=(2/0.431)^{2}=21.5

，是一个巨大的台阶。在 SPY 上，以 2017 年（年化

6.85\%

）为基准，

k=0.5

，

h=5

，第一次警报出现在 2018 年 1 月 26 日，比 2018 年 2 月的暴跌早几天；到 2020 年 3 月 16 日，累计值已超过

3000

。2008 年与 2017 年的方差之比为

(41.1/6.75)^{2}=37

倍。

检测只是工作的一半。粒子滤波自己也能举起旗子：当今天的收益在当前粒子云下极不可能时，平均似然会很小，有效样本量会塌缩，就像 2018 年 10 月 10 日那样。发出警报之后，可以加大滤波器的噪声使它更快跟上新水平，从更平坦的信念重新启动，或者改用记忆更短的估计量，这就是下一个主题。

变化的三种形式：跳变、漂移和状态切换。
CUSUM：超额证据的累计值，会归零，超过阈值就报警。
速度与误报：阈值越低发现变化越早，但误报也越多。

实验：评分内容

第二天的累计值10 分
第四天的累计值10 分
第一次警报的日子10 分
标准化的收益平方15 分
方差之比10 分
降低阈值10 分
监控循环10 分
配对术语10 分
为什么要归零15 分

当市场改变主意时

x_t=\frac{r_t^{2}}{\sigma_0^{2}},\qquad S_t=\max\left(0,\ S_{t-1}+x_t-1-k\right),\qquad S_t>h

(1)

手算一遍与真实的 SPY取

x=0.5,\ 3,\ 4,\ 2,\ 0.2

，

k=0.5

，

h=4

。累计值依次为

S=0,\ 1.5,\ 4.0,\ 4.5,\ 3.2

，在第

4

天首次超过

4

。若

\sigma_0=0.431\%

（日），一个

-2\%

的日子给出

x=(2/0.431)^{2}=21.5

，是一个巨大的台阶。在 SPY 上，以 2017 年（年化

6.85\%

）为基准，

k=0.5

，

h=5

，第一次警报出现在 2018 年 1 月 26 日，比 2018 年 2 月的暴跌早几天；到 2020 年 3 月 16 日，累计值已超过

3000

。2008 年与 2017 年的方差之比为

(41.1/6.75)^{2}=37

倍。

变化的三种形式：跳变、漂移和状态切换。
CUSUM：超额证据的累计值，会归零，超过阈值就报警。
速度与误报：阈值越低发现变化越早，但误报也越多。

实验：评分内容

第二天的累计值10 分
第四天的累计值10 分
第一次警报的日子10 分
标准化的收益平方15 分
方差之比10 分
降低阈值10 分
监控循环10 分
配对术语10 分
为什么要归零15 分

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