滚动、指数与在线估计量

估计量应该有多长的记忆？

当市场不断变化时，估计量需要一个会逐渐淡去的记忆。滚动窗口对最近 $W$ 个观测赋予相同权重，对更早的观测不赋权，所以大波动的一天进入时估计量会跳升，$W$ 天后它离开时又会跳降。指数加权估计给 $k$ 天前的观测赋予权重 $(1-\lambda)\lambda^{k}$，过去平滑地淡去，它的方差估计只需要昨天的值：$s_t^{2}=\lambda s_{t-1}^{2}+(1-\lambda)r_t^{2}$。完全在线的估计只用新的观测更新，用完即忘，例如递推均值 $m_n=m_{n-1}+(x_n-m_{n-1})/n$。

三者背后是同一个想法：新估计 = 旧估计 + 增益 $\times$ 意外。常数增益 $g=1-\lambda$ 得到指数估计量，增益 $1/n$ 得到全部数据的简单平均，而卡尔曼滤波会根据噪声水平自己选择增益，是有理论依据的版本。记忆是一种取舍：记忆短，跟随变化快但噪声大；记忆长，平滑但迟缓。半衰期 $\ln(1/2)/\ln\lambda$ 表示一个观测的权重衰减一半所需的天数，有效窗口 $(1+\lambda)/(1-\lambda)$ 是噪声水平相近的等权窗口长度。日度常用的 $\lambda=0.94$ 的半衰期为 $11.2$ 天，有效窗口为 $32.3$ 天。

• 同一个配方：新值＝旧值＋增益 $\times$ 意外，增益决定记忆长短。
• 滚动窗口突兀，指数平滑：滚动窗口一下子丢掉旧数据，指数方式让它逐渐淡去。
• 记忆是一种取舍：短记忆快但噪声大，长记忆慢但平滑。

实验：评分内容

• 指数加权更新15 分
• 半衰期10 分
• 有效窗口10 分
• 旧观测10 分
• 在线均值10 分
• 哪一个会突然遗忘10 分
• 在线更新10 分
• 配对术语10 分
• 为什么指数方式反应更快15 分