Gleitende exponentielle und Online-Schätzer

Wie viel Gedächtnis soll eine Schätzung haben?

Wenn sich der Markt ständig ändert, braucht eine Schätzung ein Gedächtnis, das verblasst. Ein gleitendes Fenster gibt den letzten $W$ Beobachtungen gleiches Gewicht und den älteren keines, die Schätzung springt also, wenn ein großer Tag hereinkommt und noch einmal, wenn er $W$ Tage später hinausfällt. Eine exponentiell gewichtete Schätzung gibt der Beobachtung von vor $k$ Tagen das Gewicht $(1-\lambda)\lambda^{k}$, die Vergangenheit verblasst also sanft. Ihre Varianzschätzung braucht nur den Wert von gestern: $s_t^{2}=\lambda s_{t-1}^{2}+(1-\lambda)r_t^{2}$. Eine vollständig Online-Schätzung aktualisiert sich nur mit der neuen Beobachtung und vergisst sie danach, etwa ein laufender Mittelwert $m_n=m_{n-1}+(x_n-m_{n-1})/n$.

Dieselbe Idee zieht sich durch alle drei: neue Schätzung = alte Schätzung + Gewinn $\times$ Überraschung. Ein konstanter Gewinn $g=1-\lambda$ ergibt den exponentiellen Schätzer. Ein Gewinn von $1/n$ ergibt den einfachen Durchschnitt aller Daten. Das Kalman-Filter wählt den Gewinn selbst aus den Rauschpegeln, es ist die begründete Version. Das Gedächtnis ist ein Kompromiss: Ein kurzes folgt Änderungen schnell, ist aber verrauscht, ein langes ist glatt, aber langsam. Die Halbwertszeit $\ln(1/2)/\ln\lambda$ sagt, nach wie vielen Tagen eine Beobachtung die Hälfte ihres Gewichts verliert, und das effektive Fenster $(1+\lambda)/(1-\lambda)$ ist das gleich gewichtete Fenster mit ähnlichem Rauschen. Die übliche Tageswahl $\lambda=0{,}94$ hat eine Halbwertszeit von $11{,}2$ Tagen und ein effektives Fenster von $32{,}3$ Tagen.

• Dasselbe Rezept: neu = alt + Gewinn $\times$ Überraschung; der Gewinn legt das Gedächtnis fest.
• Gleitend ist abrupt, exponentiell ist sanft: Das gleitende Fenster wirft alte Daten auf einmal ab, das exponentielle lässt sie verblassen.
• Gedächtnis ist ein Kompromiss: kurz ist schnell und verrauscht, lang ist langsam und glatt.

Lab: Was bewertet wird

• Ein exponentiell gewichtetes Update15 Pkt.
• Die Halbwertszeit10 Pkt.
• Das effektive Fenster10 Pkt.
• Eine alte Beobachtung10 Pkt.
• Ein Online-Mittelwert10 Pkt.
• Welcher vergisst abrupt10 Pkt.
• Ein Online-Update10 Pkt.
• Begriffe zuordnen10 Pkt.
• Warum der exponentielle schneller reagiert15 Pkt.