Estimateurs glissants exponentiels et en ligne

Quelle mémoire donner à une estimation ?

Quand le marché ne cesse de changer, une estimation a besoin d'une mémoire qui s'estompe. Une fenêtre glissante donne le même poids aux $W$ dernières observations et aucun aux plus anciennes : l'estimation saute quand un gros jour entre et de nouveau quand il sort $W$ jours plus tard. Une estimation à pondération exponentielle donne à l'observation d'il y a $k$ jours le poids $(1-\lambda)\lambda^{k}$ : le passé s'estompe en douceur. Son estimation de variance n'a besoin que de la valeur d'hier : $s_t^{2}=\lambda s_{t-1}^{2}+(1-\lambda)r_t^{2}$ . Une estimation entièrement en ligne se met à jour avec la seule nouvelle observation et l'oublie ensuite, par exemple une moyenne courante $m_n=m_{n-1}+(x_n-m_{n-1})/n$ .

s_t^{2}=\lambda\,s_{t-1}^{2}+(1-\lambda)\,r_t^{2},\qquad w_k=(1-\lambda)\lambda^{k},\qquad t_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln\lambda},\qquad W_{e}=\frac{1+\lambda}{1-\lambda}

(1)

La même idée traverse les trois : nouvelle estimation = ancienne estimation + gain $\times$ surprise. Un gain constant $g=1-\lambda$ donne l'estimateur exponentiel. Un gain de $1/n$ donne la moyenne simple de toutes les données. Le filtre de Kalman choisit lui-même le gain à partir des niveaux de bruit : c'est la version raisonnée. La mémoire est un compromis : une mémoire courte suit vite les changements mais est bruitée, une mémoire longue est lisse mais lente. La demi-vie $\ln(1/2)/\ln\lambda$ donne le nombre de jours pour qu'une observation perde la moitié de son poids, et la fenêtre effective $(1+\lambda)/(1-\lambda)$ est la fenêtre à poids égaux de bruit comparable. Le choix quotidien courant $\lambda=0{,}94$ a une demi-vie de $11{,}2$ jours et une fenêtre effective de $32{,}3$ jours.

Des chiffres à la main et le vrai SPYAvec

\lambda=0{,}94

, une variance d'hier de

0{,}0001

(volatilité quotidienne de

1\%

) et un rendement de

-3\%

, la nouvelle variance est

0{,}94\times0{,}0001+0{,}06\times0{,}0009=0{,}000148

, soit une volatilité de

1{,}217\%

. Une observation vieille de

10

jours garde le poids

0{,}06\times0{,}94^{10}=0{,}0323

. Une moyenne courante de

0{,}02

après

4

valeurs, rencontrant

x=0{,}07

, devient

0{,}02+(0{,}07-0{,}02)/5=0{,}03

. Sur SPY l'estimateur

0{,}94

culmine à

84{,}7\%

de volatilité annuelle le 28 octobre 2008, tandis qu'une fenêtre glissante de 60 jours culmine à

75{,}5\%

le 8 décembre, six semaines plus tard. Le 16 mars 2020 il affiche

80{,}8\%

contre

47{,}4\%

pour la fenêtre glissante.

Même recette : nouveau = ancien + gain $\times$ surprise ; le gain fixe la mémoire.
Glissant est abrupt, exponentiel est lisse : la fenêtre glissante abandonne les vieilles données d'un coup, l'exponentielle les estompe.
La mémoire est un compromis : mémoire courte = rapide et bruitée, mémoire longue = lente et lisse.

Lab : ce qui est noté

Une mise à jour à pondération exponentielle15 pts
La demi-vie10 pts
La fenêtre effective10 pts
Une vieille observation10 pts
Une moyenne en ligne10 pts
Lequel oublie brutalement10 pts
Une mise à jour en ligne10 pts
Associer le vocabulaire10 pts
Pourquoi l'exponentiel réagit plus vite15 pts

Quelle mémoire donner à une estimation ?

s_t^{2}=\lambda\,s_{t-1}^{2}+(1-\lambda)\,r_t^{2},\qquad w_k=(1-\lambda)\lambda^{k},\qquad t_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln\lambda},\qquad W_{e}=\frac{1+\lambda}{1-\lambda}

(1)

Des chiffres à la main et le vrai SPYAvec

\lambda=0{,}94

, une variance d'hier de

0{,}0001

(volatilité quotidienne de

1\%

) et un rendement de

-3\%

, la nouvelle variance est

0{,}94\times0{,}0001+0{,}06\times0{,}0009=0{,}000148

, soit une volatilité de

1{,}217\%

. Une observation vieille de

10

jours garde le poids

0{,}06\times0{,}94^{10}=0{,}0323

. Une moyenne courante de

0{,}02

après

4

valeurs, rencontrant

x=0{,}07

, devient

0{,}02+(0{,}07-0{,}02)/5=0{,}03

. Sur SPY l'estimateur

0{,}94

culmine à

84{,}7\%

de volatilité annuelle le 28 octobre 2008, tandis qu'une fenêtre glissante de 60 jours culmine à

75{,}5\%

le 8 décembre, six semaines plus tard. Le 16 mars 2020 il affiche

80{,}8\%

contre

47{,}4\%

pour la fenêtre glissante.

Même recette : nouveau = ancien + gain $\times$ surprise ; le gain fixe la mémoire.
Glissant est abrupt, exponentiel est lisse : la fenêtre glissante abandonne les vieilles données d'un coup, l'exponentielle les estompe.
La mémoire est un compromis : mémoire courte = rapide et bruitée, mémoire longue = lente et lisse.

Lab : ce qui est noté

Une mise à jour à pondération exponentielle15 pts
La demi-vie10 pts
La fenêtre effective10 pts
Une vieille observation10 pts
Une moyenne en ligne10 pts
Lequel oublie brutalement10 pts
Une mise à jour en ligne10 pts
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