Suivre le bêta d'une action pendant qu'il bouge
Dans ce projet de synthèse vous construisez trois suiveurs du bêta d'Apple face à SPY et vous les comparez. Le modèle est un bêta en marche aléatoire : chaque jour le rendement de l'action est le bêta fois le rendement du marché plus un bruit, et le bêta lui-même dérive un peu. Le premier suiveur est une régression glissante sur les 60 derniers jours, une fenêtre dure. Le deuxième est un filtre de Kalman, la réponse exacte quand tout est en cloche. Le troisième est un filtre particulaire bootstrap que vous écrivez avec sa propre normalisation des poids, sa taille d'échantillon effective et son rééchantillonnage systématique. Un estimateur à pondération exponentielle suit la volatilité de ce que le marché n'explique pas.
βₜ=βₜ₋₁+wₜ, yₜ=βₜ mₜ+eₜ, K=(P⁻mₜ)/(P⁻mₜ²+r)
Ce que disent les vraies donnéesSur les 5 404 jours d'Apple et de SPY depuis 2005, le bêta sur tout l'échantillon vaut 1,07. Le dernier jour, la régression sur 60 jours donne 0,20, le filtre de Kalman 0,40 et le filtre particulaire à 500 particules 0,43. En prévoyant le rendement de chaque jour avec le bêta d'hier, les erreurs quadratiques moyennes valent 2,379×10⁻⁴ pour un bêta fixe, 2,378×10⁻⁴ pour le bêta glissant, 2,354×10⁻⁴ pour Kalman et 2,362×10⁻⁴ pour les particules. Suivre le bêta aide d'environ 1%, pas plus, car les rendements quotidiens sont surtout du bruit. Le filtre particulaire rééchantillonne sur 107 jours, et sa taille d'échantillon effective descend à environ 7 sur 500. La volatilité à pondération exponentielle des résidus est d'environ 32% par an en fin de données.
- Même modèle, trois solveurs : une fenêtre dure, le filtre gaussien exact et un nuage de particules pondérées.
- Hasard reproductible : les nombres aléatoires arrivent en arguments, donc les mêmes entrées donnent la même réponse.
- Notation honnête : chaque méthode prévoit le rendement d'un jour avec le seul bêta d'hier.
Simplifications à retenirLe bêta est une marche aléatoire de pas fixe q=10⁻³ choisi à la main, et le bruit est traité comme normal de variance constante, ce qui ignore la concentration de volatilité. Le score utilise l'erreur quadratique d'une seule action sur un échantillon. Dans ce modèle linéaire gaussien, Kalman est exact : le filtre particulaire ne peut que l'égaler, et son avantage apparaît quand le bruit a des queues épaisses ou que la variance bouge.
Lab : ce qui est noté
- Normalisation sûre5 pts
- Taille d'échantillon effective5 pts
- Rééchantillonnage systématique10 pts
- Un bêta glissant10 pts
- Volatilité à pondération exponentielle10 pts
- Le filtre de Kalman15 pts
- Le filtre particulaire bootstrap25 pts
- L'étude du bêta20 pts