跟踪一只股票不断变动的贝塔
在这个综合项目中，你要搭建三个跟踪苹果对 SPY 贝塔的跟踪器并加以比较。模型是随机游走的贝塔：每天股票收益等于贝塔乘以市场收益再加噪声，而贝塔本身会缓慢漂移。第一个跟踪器是最近 60 天的滚动回归，相当于一个硬窗口；第二个是卡尔曼滤波，在一切都是钟形时给出精确答案；第三个是你亲手写的自助法粒子滤波，包括权重归一化、有效样本量和系统重采样。再用一个指数加权估计量跟踪市场无法解释的那部分的波动率。
βₜ=βₜ₋₁+wₜ, yₜ=βₜ mₜ+eₜ, K=(P⁻mₜ)/(P⁻mₜ²+r)
真实数据说了什么在 2005 年以来苹果与 SPY 的 5 404 个交易日上，全样本贝塔为 1.07。最后一天，60 日回归给出 0.20，卡尔曼滤波给出 0.40，500 个粒子的粒子滤波给出 0.43。用昨天的贝塔预测每天的收益，均方误差分别为：固定贝塔 2.379×10⁻⁴，滚动贝塔 2.378×10⁻⁴，卡尔曼 2.354×10⁻⁴，粒子 2.362×10⁻⁴。跟踪贝塔大约带来 1% 的改进，也就这么多，因为日收益主要是噪声。粒子滤波在 107 天重采样，有效样本量最低降到 500 中的约 7。残差的指数加权波动率在数据末尾约为每年 32%。
- 同一个模型，三种解法：硬窗口、精确的高斯滤波和带权粒子云。
- 可复现的随机性：随机数作为参数传入，所以相同输入给出相同答案。
- 诚实的评分：每种方法只用昨天的贝塔预测当天的收益。
需要记住的简化贝塔是步长固定为 q=10⁻³（人为选定）的随机游走，噪声被当作方差恒定的正态分布，这忽略了波动率聚集。评分只用了一个样本里一只股票的平方误差。在这个线性高斯模型里卡尔曼是精确的，粒子滤波最多只能追平它，它的优势出现在噪声厚尾或方差在变动的时候。
实验：评分内容
- 安全的归一化5 分
- 有效样本量5 分
- 系统重采样10 分
- 滚动贝塔10 分
- 指数加权波动率10 分
- 卡尔曼滤波15 分
- 自助法粒子滤波25 分
- 贝塔研究20 分