動き続ける株式のベータを追う
このキャップストーンでは、SPYに対するアップルのベータを追う3つのトラッカーを作って比べます。モデルはランダムウォークするベータです。毎日、株式のリターンはベータ×市場リターン＋ノイズで、ベータ自身も少しずつ動きます。1つ目は直近 60 日の移動回帰で、硬い窓に当たります。2つ目はカルマンフィルタで、すべてが釣鐘形のときの厳密な答えです。3つ目は、重みの正規化、有効標本サイズ、系統的リサンプリングを自分で書くブートストラップ粒子フィルタです。指数加重の推定量は、市場で説明できない部分のボラティリティを追います。
βₜ=βₜ₋₁+wₜ, yₜ=βₜ mₜ+eₜ, K=(P⁻mₜ)/(P⁻mₜ²+r)
実データが語ること2005年以降のアップルとSPYの 5 404 日で、全期間のベータは 1.07 です。最終日には、60 日回帰が 0.20、カルマンフィルタが 0.40、粒子500個の粒子フィルタが 0.43 を示します。昨日のベータで各日のリターンを予測したときの平均2乗誤差は、固定ベータで 2.379×10⁻⁴、移動ベータで 2.378×10⁻⁴、カルマンで 2.354×10⁻⁴、粒子で 2.362×10⁻⁴ です。ベータを追うと約 1% 良くなりますが、日次リターンはほとんどがノイズなのでそれ以上ではありません。粒子フィルタは 107 日でリサンプリングし、有効標本サイズは 500 中約 7 まで下がります。残差の指数加重ボラティリティはデータ末で年率約 32% です。
- 同じモデル、3つの解法：硬い窓、厳密なガウスフィルタ、重み付き粒子の雲。
- 再現できるランダム性：乱数は引数で渡されるので、同じ入力は同じ答えを返す。
- 公平な採点：各手法は昨日のベータだけで当日のリターンを予測する。
覚えておく単純化ベータは手で選んだ固定の歩幅 q=10⁻³ のランダムウォークで、ノイズは分散一定の正規分布として扱っており、ボラティリティの集中は無視しています。採点は1つの標本における1銘柄の2乗誤差を使います。この線形ガウスモデルではカルマンが厳密なので、粒子フィルタはそれに並ぶことしかできず、利点が出るのはノイズが厚い裾をもつときや分散が動くときです。
ラボ：採点される内容
- 安全な正規化5点
- 有効標本サイズ5点
- 系統的リサンプリング10点
- 移動ベータ10点
- 指数加重ボラティリティ10点
- カルマンフィルタ15点
- ブートストラップ粒子フィルタ25点
- ベータの検証20点