Estimadores móveis exponenciais e online

Quanta memória uma estimativa deve ter?

Quando o mercado não para de mudar, uma estimativa precisa de uma memória que se desfaz. Uma janela móvel dá peso igual às últimas $W$ observações e nenhum às mais antigas, então a estimativa salta quando entra um dia grande e de novo quando ele sai $W$ dias depois. Uma estimativa com ponderação exponencial dá à observação de $k$ dias atrás o peso $(1-\lambda)\lambda^{k}$ , então o passado se desfaz suavemente. Sua estimativa de variância só precisa do valor de ontem: $s_t^{2}=\lambda s_{t-1}^{2}+(1-\lambda)r_t^{2}$ . Uma estimativa totalmente online se atualiza só com a nova observação e depois a esquece, por exemplo uma média corrente $m_n=m_{n-1}+(x_n-m_{n-1})/n$ .

s_t^{2}=\lambda\,s_{t-1}^{2}+(1-\lambda)\,r_t^{2},\qquad w_k=(1-\lambda)\lambda^{k},\qquad t_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln\lambda},\qquad W_{e}=\frac{1+\lambda}{1-\lambda}

(1)

A mesma ideia atravessa as três: nova estimativa = estimativa antiga + ganho $\times$ surpresa. Um ganho constante $g=1-\lambda$ dá o estimador exponencial. Um ganho de $1/n$ dá a média simples de todos os dados. O filtro de Kalman escolhe o ganho sozinho a partir dos níveis de ruído, então é a versão fundamentada. A memória é um compromisso: memória curta segue rápido as mudanças mas é ruidosa, memória longa é suave mas lenta. A meia-vida $\ln(1/2)/\ln\lambda$ diz em quantos dias uma observação perde metade do peso, e a janela efetiva $(1+\lambda)/(1-\lambda)$ é a janela de pesos iguais com ruído parecido. A escolha diária comum $\lambda=0{,}94$ tem meia-vida de $11{,}2$ dias e janela efetiva de $32{,}3$ dias.

Números à mão e o SPY realCom

\lambda=0{,}94

, variância de ontem

0{,}0001

(volatilidade diária de

1\%

) e um retorno de

-3\%

, a nova variância é

0{,}94\times0{,}0001+0{,}06\times0{,}0009=0{,}000148

, uma volatilidade de

1{,}217\%

. Uma observação de

10

dias atrás mantém o peso

0{,}06\times0{,}94^{10}=0{,}0323

. Uma média corrente de

0{,}02

após

4

valores, ao encontrar

x=0{,}07

, passa a

0{,}02+(0{,}07-0{,}02)/5=0{,}03

. No SPY o estimador

0{,}94

atinge o pico de

84{,}7\%

de volatilidade anual em 28 de outubro de 2008, enquanto uma janela móvel de 60 dias atinge o pico de

75{,}5\%

em 8 de dezembro, seis semanas depois. Em 16 de março de 2020 ele marca

80{,}8\%

contra

47{,}4\%

da janela móvel.

A mesma receita: novo = antigo + ganho $\times$ surpresa; o ganho define a memória.
Móvel é brusco, exponencial é suave: a janela móvel solta os dados antigos de uma vez e a exponencial os desvanece.
A memória é um compromisso: memória curta é rápida e ruidosa, longa é lenta e suave.

Lab: o que é avaliado

Uma atualização com ponderação exponencial15 pts
A meia-vida10 pts
A janela efetiva10 pts
Uma observação antiga10 pts
Uma média online10 pts
Qual esquece bruscamente10 pts
Uma atualização online10 pts
Associar o vocabulário10 pts
Por que o exponencial reage mais rápido15 pts

Quanta memória uma estimativa deve ter?

s_t^{2}=\lambda\,s_{t-1}^{2}+(1-\lambda)\,r_t^{2},\qquad w_k=(1-\lambda)\lambda^{k},\qquad t_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln\lambda},\qquad W_{e}=\frac{1+\lambda}{1-\lambda}

(1)

Números à mão e o SPY realCom

\lambda=0{,}94

, variância de ontem

0{,}0001

(volatilidade diária de

1\%

) e um retorno de

-3\%

, a nova variância é

0{,}94\times0{,}0001+0{,}06\times0{,}0009=0{,}000148

, uma volatilidade de

1{,}217\%

. Uma observação de

10

dias atrás mantém o peso

0{,}06\times0{,}94^{10}=0{,}0323

. Uma média corrente de

0{,}02

após

4

valores, ao encontrar

x=0{,}07

, passa a

0{,}02+(0{,}07-0{,}02)/5=0{,}03

. No SPY o estimador

0{,}94

atinge o pico de

84{,}7\%

de volatilidade anual em 28 de outubro de 2008, enquanto uma janela móvel de 60 dias atinge o pico de

75{,}5\%

em 8 de dezembro, seis semanas depois. Em 16 de março de 2020 ele marca

80{,}8\%

contra

47{,}4\%

da janela móvel.

A mesma receita: novo = antigo + ganho $\times$ surpresa; o ganho define a memória.
Móvel é brusco, exponencial é suave: a janela móvel solta os dados antigos de uma vez e a exponencial os desvanece.
A memória é um compromisso: memória curta é rápida e ruidosa, longa é lenta e suave.

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Uma atualização com ponderação exponencial15 pts
A meia-vida10 pts
A janela efetiva10 pts
Uma observação antiga10 pts
Uma média online10 pts
Qual esquece bruscamente10 pts
Uma atualização online10 pts
Associar o vocabulário10 pts
Por que o exponencial reage mais rápido15 pts

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