Estimadores móviles exponenciales y en línea

¿Cuánta memoria debe tener una estimación?

Cuando el mercado no deja de cambiar, una estimación necesita una memoria que se desvanezca. Una ventana móvil da igual peso a las últimas $W$ observaciones y ninguno a las más antiguas, así que la estimación salta cuando entra un día grande y otra vez cuando sale $W$ días después. Una estimación con ponderación exponencial da a la observación de hace $k$ días el peso $(1-\lambda)\lambda^{k}$ , así que el pasado se desvanece suavemente. Su estimación de varianza solo necesita el valor de ayer: $s_t^{2}=\lambda s_{t-1}^{2}+(1-\lambda)r_t^{2}$ . Una estimación totalmente en línea se actualiza solo con la nueva observación y luego la olvida, por ejemplo una media corriente $m_n=m_{n-1}+(x_n-m_{n-1})/n$ .

s_t^{2}=\lambda\,s_{t-1}^{2}+(1-\lambda)\,r_t^{2},\qquad w_k=(1-\lambda)\lambda^{k},\qquad t_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln\lambda},\qquad W_{e}=\frac{1+\lambda}{1-\lambda}

(1)

La misma idea recorre las tres: nueva estimación = estimación vieja + ganancia $\times$ sorpresa. Una ganancia constante $g=1-\lambda$ da el estimador exponencial. Una ganancia de $1/n$ da el promedio simple de todos los datos. El filtro de Kalman elige la ganancia solo a partir de los niveles de ruido, así que es la versión con fundamento. La memoria es un compromiso: una memoria corta sigue rápido los cambios pero es ruidosa, una larga es suave pero lenta. La vida media $\ln(1/2)/\ln\lambda$ dice cuántos días tarda una observación en perder la mitad de su peso, y la ventana efectiva $(1+\lambda)/(1-\lambda)$ es la ventana de pesos iguales de ruido similar. La elección diaria común $\lambda=0{,}94$ tiene una vida media de $11{,}2$ días y una ventana efectiva de $32{,}3$ días.

Cifras a mano y el SPY realCon

\lambda=0{,}94

, una varianza de ayer de

0{,}0001

(volatilidad diaria del

1\%

) y un rendimiento de

-3\%

, la nueva varianza es

0{,}94\times0{,}0001+0{,}06\times0{,}0009=0{,}000148

, una volatilidad de

1{,}217\%

. Una observación de hace

10

días conserva el peso

0{,}06\times0{,}94^{10}=0{,}0323

. Una media corriente de

0{,}02

tras

4

valores, al encontrar

x=0{,}07

, pasa a

0{,}02+(0{,}07-0{,}02)/5=0{,}03

. En SPY el estimador

0{,}94

alcanza su máximo de

84{,}7\%

de volatilidad anual el 28 de octubre de 2008, mientras una ventana móvil de 60 días llega a su máximo de

75{,}5\%

el 8 de diciembre, seis semanas después. El 16 de marzo de 2020 marca

80{,}8\%

frente a

47{,}4\%

de la ventana móvil.

La misma receta: nuevo = viejo + ganancia $\times$ sorpresa; la ganancia fija la memoria.
Móvil es brusco, exponencial es suave: la ventana móvil suelta los datos viejos de golpe y la exponencial los desvanece.
La memoria es un compromiso: memoria corta es rápida y ruidosa, larga es lenta y suave.

Lab: qué se califica

Una actualización con ponderación exponencial15 pts
La vida media10 pts
La ventana efectiva10 pts
Una observación vieja10 pts
Una media en línea10 pts
Cuál olvida bruscamente10 pts
Una actualización en línea10 pts
Emparejar el vocabulario10 pts
Por qué el exponencial reacciona más rápido15 pts

¿Cuánta memoria debe tener una estimación?

s_t^{2}=\lambda\,s_{t-1}^{2}+(1-\lambda)\,r_t^{2},\qquad w_k=(1-\lambda)\lambda^{k},\qquad t_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln\lambda},\qquad W_{e}=\frac{1+\lambda}{1-\lambda}

(1)

Cifras a mano y el SPY realCon

\lambda=0{,}94

, una varianza de ayer de

0{,}0001

(volatilidad diaria del

1\%

) y un rendimiento de

-3\%

, la nueva varianza es

0{,}94\times0{,}0001+0{,}06\times0{,}0009=0{,}000148

, una volatilidad de

1{,}217\%

. Una observación de hace

10

días conserva el peso

0{,}06\times0{,}94^{10}=0{,}0323

. Una media corriente de

0{,}02

tras

4

valores, al encontrar

x=0{,}07

, pasa a

0{,}02+(0{,}07-0{,}02)/5=0{,}03

. En SPY el estimador

0{,}94

alcanza su máximo de

84{,}7\%

de volatilidad anual el 28 de octubre de 2008, mientras una ventana móvil de 60 días llega a su máximo de

75{,}5\%

el 8 de diciembre, seis semanas después. El 16 de marzo de 2020 marca

80{,}8\%

frente a

47{,}4\%

de la ventana móvil.

La misma receta: nuevo = viejo + ganancia $\times$ sorpresa; la ganancia fija la memoria.
Móvil es brusco, exponencial es suave: la ventana móvil suelta los datos viejos de golpe y la exponencial los desvanece.
La memoria es un compromiso: memoria corta es rápida y ruidosa, larga es lenta y suave.

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La vida media10 pts
La ventana efectiva10 pts
Una observación vieja10 pts
Una media en línea10 pts
Cuál olvida bruscamente10 pts
Una actualización en línea10 pts
Emparejar el vocabulario10 pts
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