Détection de dérive et points de rupture

Quand le marché change d'avis

Une série est stationnaire si ses statistiques, comme la moyenne et la dispersion, restent les mêmes dans le temps. Les marchés ne le sont pas. Une stratégie peut avoir une moyenne stable pendant des années puis la perdre, la volatilité peut rester près de $7\%$ puis bondir, et une corrélation peut se rompre en crise. Ces changements ont trois formes : un saut soudain (changement de niveau), une lente dérive et une bascule entre régimes. Le rendement de SPY a une volatilité annuelle de $6{,}8\%$ en 2017, $41{,}1\%$ en 2008 et $33{,}7\%$ en 2020. Une estimation unique sur tout l'historique ne décrit bien aucune de ces années : il faut repérer les changements puis s'adapter.

x_t=\frac{r_t^{2}}{\sigma_0^{2}},\qquad S_t=\max\left(0,\ S_{t-1}+x_t-1-k\right),\qquad S_t>h

(1)

Le détecteur CUSUM (somme cumulée) est l'outil classique. On fixe une volatilité de base $\sigma_0$ à partir d'une période calme et l'on mesure chaque jour par $x_t=r_t^{2}/\sigma_0^{2}$ , de moyenne $1$ tant que rien n'a changé. On ajoute $x_t-1-k$ à un total courant $S$ chaque jour, où $k$ est une tolérance qui ignore les petits excès, et l'on ne laisse jamais le total passer sous zéro. Quand le total dépasse un seuil $h$ , on lève l'alarme. La remise à zéro est la clé : une longue période calme ne peut pas accumuler de crédit qui cacherait plus tard un vrai changement. Un petit $k$ ou $h$ réagit plus vite mais donne plus de fausses alarmes.

Un passage à la main et le vrai SPYPrenons

x=0{,}5,\ 3,\ 4,\ 2,\ 0{,}2

avec

k=0{,}5

h=4

. Le total vaut

S=0,\ 1{,}5,\ 4{,}0,\ 4{,}5,\ 3{,}2

. Il dépasse

4

pour la première fois au jour

4

. Un jour à

-2\%

, avec

\sigma_0=0{,}431\%

par jour, donne

x=(2/0{,}431)^{2}=21{,}5

, un énorme pas. Sur SPY, avec la base prise en 2017 (

6{,}85\%

par an),

k=0{,}5

h=5

, la première alarme tombe le 26 janvier 2018, quelques jours avant la baisse de février 2018, et au 16 mars 2020 le total dépasse

3000

. Le rapport de variance entre 2008 et 2017 est

(41{,}1/6{,}75)^{2}=37

fois.

La détection n'est que la moitié du travail. Un filtre particulaire peut aussi lever lui-même un drapeau : quand le rendement du jour est très improbable sous le nuage courant, la vraisemblance moyenne est minuscule et la taille d'échantillon effective s'effondre, comme le 10 octobre 2018. Après une alarme, on peut élargir le bruit du filtre pour qu'il suive plus vite le nouveau niveau, le relancer d'une croyance plus plate ou passer à un estimateur à mémoire plus courte, ce qui est le sujet suivant.

Trois formes de changement : un saut, une dérive et une bascule de régime.
CUSUM : un total courant d'excès de preuves, remis à zéro, qui déclenche une alarme au-delà d'un seuil.
Vitesse contre fausses alarmes : un seuil plus bas trouve les changements plus tôt mais donne plus de fausses alarmes.

Lab : ce qui est noté

Le total au jour deux10 pts
Le total au jour quatre10 pts
Le premier jour d'alarme10 pts
Un rendement au carré standardisé15 pts
Un rapport de variance10 pts
Baisser le seuil10 pts
Une boucle de surveillance10 pts
Associer le vocabulaire10 pts
Pourquoi remettre à zéro15 pts

Quand le marché change d'avis

x_t=\frac{r_t^{2}}{\sigma_0^{2}},\qquad S_t=\max\left(0,\ S_{t-1}+x_t-1-k\right),\qquad S_t>h

(1)

Un passage à la main et le vrai SPYPrenons

x=0{,}5,\ 3,\ 4,\ 2,\ 0{,}2

avec

k=0{,}5

h=4

. Le total vaut

S=0,\ 1{,}5,\ 4{,}0,\ 4{,}5,\ 3{,}2

. Il dépasse

4

pour la première fois au jour

4

. Un jour à

-2\%

, avec

\sigma_0=0{,}431\%

par jour, donne

x=(2/0{,}431)^{2}=21{,}5

, un énorme pas. Sur SPY, avec la base prise en 2017 (

6{,}85\%

par an),

k=0{,}5

h=5

, la première alarme tombe le 26 janvier 2018, quelques jours avant la baisse de février 2018, et au 16 mars 2020 le total dépasse

3000

. Le rapport de variance entre 2008 et 2017 est

(41{,}1/6{,}75)^{2}=37

fois.

Trois formes de changement : un saut, une dérive et une bascule de régime.
CUSUM : un total courant d'excès de preuves, remis à zéro, qui déclenche une alarme au-delà d'un seuil.
Vitesse contre fausses alarmes : un seuil plus bas trouve les changements plus tôt mais donne plus de fausses alarmes.

Lab : ce qui est noté

Le total au jour deux10 pts
Le total au jour quatre10 pts
Le premier jour d'alarme10 pts
Un rendement au carré standardisé15 pts
Un rapport de variance10 pts
Baisser le seuil10 pts
Une boucle de surveillance10 pts
Associer le vocabulaire10 pts
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