Filtragem da volatilidade estocástica

A volatilidade que não se vê

Os retornos vêm em períodos calmos e em tempestades, então a dispersão de um retorno muda de um dia para o outro e ninguém a divulga. O modelo de volatilidade estocástica trata o logaritmo da variância, $h_t$, como um estado oculto. Ele se move como uma autorregressão de primeira ordem em torno de um nível de longo prazo $\mu$: uma fração $\varphi$ da diferença de ontem permanece e chega um choque novo de tamanho $\sigma$. O retorno é um sino com variância $e^{h_t}$. O logaritmo mantém a variância positiva e faz os choques a multiplicarem. Três números descrevem o modelo: o nível $\mu$, a persistência $\varphi$ (perto de $1$, os choques de volatilidade duram) e a volatilidade da volatilidade $\sigma$.

O estado oculto está dentro de uma exponencial, então a observação é uma função não linear dele e o filtro de Kalman não tem resposta exata. Um filtro de partículas bootstrap tem. Comece com partículas da distribuição de longo prazo de $h$. A cada dia, mova cada partícula com a autorregressão, pondere-a pela densidade normal do retorno com variância $e^{h}$ e reamostre quando o tamanho amostral efetivo for baixo. A volatilidade filtrada é a raiz da média ponderada de $e^{h}$, e multiplicar por $\sqrt{252}$ passa do diário para o anual. A média das verossimilhanças das partículas dá também a log-verossimilhança dos parâmetros, que o próximo tópico usa.

Nos $5\,404$ retornos do SPY desde 2005, com $\mu=\ln(\overline{r^{2}})=-8{,}85$, $\varphi=0{,}98$, $\sigma=0{,}15$ e $1000$ partículas, a volatilidade anual filtrada tem média de $8{,}7\%$ em 2017 e $30{,}8\%$ em 2008, com pico de $79{,}5\%$ em 15 de outubro de 2008. A log-verossimilhança é $17\,752$, contra $16\,252$ com volatilidade constante, um ganho de cerca de $1\,500$. O tamanho amostral efetivo tem mediana $966$ em $1000$, mas cai para $3{,}3$ em 10 de outubro de 2018 ($-3{,}2\%$ após um período calmo, com a volatilidade filtrada saltando de $7{,}9\%$ para $18{,}9\%$). Depois da calma, quase nenhuma partícula tem volatilidade alta o bastante para explicar um choque.

• O estado oculto é o log da variância: mantém a variância positiva e faz os choques a multiplicarem.
• Os pesos favorecem a volatilidade que explica o retorno: um retorno grande eleva as partículas tempestuosas e um pequeno as calmas.
• Vigie o ESS depois da calma: uma grande surpresa pode deixar pouquíssimas partículas úteis.

Lab: o que é avaliado

• A dispersão de longo prazo15 pts
• Volatilidade anual de uma partícula10 pts
• A média prevista15 pts
• Uma densidade normal10 pts
• Uma razão de pesos15 pts
• Por que o log da variância10 pts
• Associar o vocabulário10 pts
• Por que não usar só o retorno15 pts