看不见的波动率
收益有平静期，也有风暴期，所以收益的离散程度每天都在变，而且没有人公布它。随机波动率模型把方差的对数 ht 当作隐含状态，它围绕长期水平 μ 做一阶自回归：昨天偏离的一个比例 φ 会保留下来，再加上一个大小为 σ 的新冲击。收益是方差为 eht 的钟形分布。用对数可保证方差为正，并使冲击以乘法方式作用。模型由三个数描述：水平 μ、持续性 φ（接近 1 表示波动冲击持续很久）以及波动率的波动率 σ。
ht=μ+φ(ht−1−μ)+σηt,rt=eht/2εt,sd(h)=1−φ2σ(1) 隐含状态藏在指数函数里，所以观测是它的非线性函数，卡尔曼滤波没有精确解，而自助法粒子滤波可以。让粒子从 h 的长期分布出发。每天按自回归移动每个粒子，用方差为 eh 的收益正态密度给它加权，有效样本量低时重采样。滤波波动率是 eh 加权平均的平方根，乘以 252 就从日度换成年化。粒子似然的平均值还给出参数的对数似然，下一个主题会用到。
某一天的数字取
μ=−8.85（年化波动率
19%）、
φ=0.98、
σ=0.15。
h 的长期标准差为
0.15/1−0.982=0.754。
h=−8 的粒子表示日方差
e−8、年化波动率
252e−8=29.1%。它对明天的预测均值为
−8.85+0.98×0.85=−8.017。若收益为
−2%，其正态密度为
12.0。
−3% 的收益在
h=−8 下比在平静粒子
h=−9.5 下可能
50 倍，所以动荡粒子的权重是后者的
50 倍。
在 2005 年以来 SPY 的 5404 个收益上，取 μ=ln(r2)=−8.85、φ=0.98、σ=0.15、1000 个粒子，滤波年化波动率 2017 年平均 8.7%，2008 年平均 30.8%，在 2008 年 10 月 15 日达到峰值 79.5%。对数似然为 17752，而常数波动率为 16252，提高约 1500。有效样本量中位数为 1000 中的 966，但在 2018 年 10 月 10 日（平静期后跌 −3.2%，滤波波动率从 7.9% 跳到 18.9%）降到 3.3。平静之后，几乎没有哪个粒子的波动率高到足以解释一次冲击。
- 隐含状态是对数方差：保证方差为正，冲击以乘法方式作用。
- 权重偏向能解释收益的波动率：大收益抬高动荡粒子，小收益抬高平静粒子。
- 平静之后要盯住 ESS：大意外可能只剩极少数有用的粒子。
实验：评分内容
- 长期标准差15 分
- 粒子的年化波动率10 分
- 预测均值15 分
- 正态密度10 分
- 权重比15 分
- 为什么用对数方差10 分
- 配对术语10 分
- 为什么不直接用收益15 分
