Filterung der stochastischen Volatilität

Die Volatilität, die man nicht sieht

Renditen kommen in ruhigen Phasen und in Stürmen, daher ändert sich die Streuung einer Rendite von Tag zu Tag, und niemand veröffentlicht sie. Das Modell der stochastischen Volatilität behandelt den Logarithmus der Varianz, $h_t$, als verborgenen Zustand. Er bewegt sich als Autoregression erster Ordnung um ein langfristiges Niveau $\mu$: Ein Bruchteil $\varphi$ der gestrigen Abweichung bleibt, und ein frischer Schock der Größe $\sigma$ kommt hinzu. Die Rendite ist eine Glockenkurve mit der Varianz $e^{h_t}$. Der Logarithmus hält die Varianz positiv und lässt Schocks sie multiplizieren. Drei Zahlen beschreiben das Modell: das Niveau $\mu$, die Persistenz $\varphi$ (nahe $1$ halten Volatilitätsschocks lange an) und die Volatilität der Volatilität $\sigma$.

Der verborgene Zustand steckt in einer Exponentialfunktion, die Beobachtung ist also eine nichtlineare Funktion von ihm, und das Kalman-Filter hat keine exakte Antwort. Ein Bootstrap-Partikelfilter schon. Man startet die Partikel aus der Langfristverteilung von $h$. Jeden Tag bewegt man jedes Partikel mit der Autoregression, gewichtet es mit der Normaldichte der Rendite bei der Varianz $e^{h}$ und zieht neu, wenn die effektive Stichprobengröße niedrig ist. Die gefilterte Volatilität ist die Wurzel des gewichteten Mittels von $e^{h}$, und die Multiplikation mit $\sqrt{252}$ macht aus der Tageszahl eine Jahreszahl. Das Mittel der Partikel-Likelihoods liefert zudem die Log-Likelihood der Parameter, die das nächste Thema nutzt.

Bei den $5\,404$ SPY-Renditen seit 2005, mit $\mu=\ln(\overline{r^{2}})=-8{,}85$, $\varphi=0{,}98$, $\sigma=0{,}15$ und $1000$ Partikeln, beträgt die gefilterte Jahresvolatilität im Mittel $8{,}7\%$ im Jahr 2017 und $30{,}8\%$ im Jahr 2008, mit einem Höchstwert von $79{,}5\%$ am 15. Oktober 2008. Die Log-Likelihood ist $17\,752$, gegenüber $16\,252$ bei konstanter Volatilität, ein Gewinn von etwa $1\,500$. Die effektive Stichprobengröße hat den Median $966$ von $1000$, fällt aber am 10. Oktober 2018 ($-3{,}2\%$ nach ruhiger Zeit, die gefilterte Volatilität springt von $7{,}9\%$ auf $18{,}9\%$) auf $3{,}3$. Nach der Ruhe hat fast kein Partikel eine ausreichend hohe Volatilität, um einen Schock zu erklären.

• Der verborgene Zustand ist die Log-Varianz: Sie hält die Varianz positiv und lässt Schocks sie multiplizieren.
• Gewichte begünstigen die Volatilität, die die Rendite erklärt: Eine große Rendite hebt die stürmischen Partikel, eine kleine die ruhigen.
• ESS nach der Ruhe beobachten: Eine große Überraschung kann nur sehr wenige nützliche Partikel übrig lassen.

Lab: Was bewertet wird

• Die Langfriststreuung15 Pkt.
• Jahresvolatilität eines Partikels10 Pkt.
• Der vorhergesagte Mittelwert15 Pkt.
• Eine Normaldichte10 Pkt.
• Ein Gewichtsverhältnis15 Pkt.
• Warum die Log-Varianz10 Pkt.
• Begriffe zuordnen10 Pkt.
• Warum nicht einfach die Rendite nehmen15 Pkt.