Die Parameter lernen

Die Zahlen des Modells selbst lernen

Bisher waren die Zahlen des Modells, etwa $q$, $r$, $\mu$, $\varphi$ und $\sigma$, gegeben. In der Praxis muss man sie aus denselben Daten lernen. Ein Partikelfilter hilft auf zwei Wegen. Erstens schätzt er die Likelihood der Daten für eine Wahl $\theta$ der Zahlen: An jedem Tag schätzt der Durchschnitt der Partikelgewichte, wie wahrscheinlich die Rendite des Tages war, und die Summe der Logarithmen dieser Durchschnitte ist die Log-Likelihood. Man lässt den Filter für mehrere Wahlen von $\theta$ auf einem Gitter laufen, stets mit denselben Zufallszahlen, damit der Vergleich glatt ist, und behält die beste. Die Schätzung ist verrauscht, mit einer Streuung von etwa $3$ bei einer Log-Likelihood nahe $17\,750$, nur größere Abstände bedeuten etwas.

Der zweite Weg legt die unbekannte Zahl in den Zustand: Jedes Partikel trägt seinen eigenen Wert von $\theta$. Das scheitert, wenn $\theta$ nie bewegt wird, denn das Neuziehen kopiert dann wenige Werte, und die $\theta$-Wolke schrumpft auf einen Punkt. Die Liu-West-Lösung bewegt das $\theta$ jedes Partikels nach jedem Neuziehen ein wenig, aber so, dass Mittelwert und Streuung der Wolke erhalten bleiben. Man wählt einen Diskontfaktor $\delta$ nahe $1$ (etwa $0{,}95$). Dann ist $h^{2}=1-\big((3\delta-1)/(2\delta)\big)^{2}$ und $a=\sqrt{1-h^{2}}$. Jeder Wert wird zuerst mit dem Faktor $a$ zum Wolkenmittel $\bar\theta$ gezogen und dann mit Rauschen der Varianz $h^{2}V$ gestört, wobei $V$ die Wolkenvarianz ist. Ein kleineres $\delta$ bedeutet mehr Störung.

• Likelihood durch Filtern: die Summe der Logarithmen der mittleren Gewichte, mit denselben Zufallszahlen für jede Wahl.
• Parameter im Zustand: braucht nach dem Neuziehen eine kleine Störung, sonst kollabiert die Parameterwolke.
• Modelle fair vergleichen: Eine Log-Likelihood braucht eine Strafe für die Parameterzahl, etwa das BIC.

Lab: Was bewertet wird

• Der Log-Likelihood-Gewinn10 Pkt.
• Die Liu-West-Konstante h zum Quadrat15 Pkt.
• Der Schrumpfungsfaktor a10 Pkt.
• Ein geschrumpftes Partikel15 Pkt.
• Die Größe der Störung10 Pkt.
• Ein BIC15 Pkt.
• Parameter ohne Störung10 Pkt.
• Warum man mit einem Abstand von etwa 3 vergleicht15 Pkt.