構造を持つ共分散行列 クリッピングと縮小推定は完全な行列を浄化します。ファクターモデルは代わりに構造を持つ行列を作ります。リターンは少数の共通ファクターと資産固有のノイズで動く、r = B f + ε \mathbf r=B\mathbf f+\boldsymbol\varepsilon r = B f + ε B B B N × k N\times k N × k f \mathbf f f Λ \Lambda Λ k ≪ N k\ll N k ≪ N ε \boldsymbol\varepsilon ε d i d_i d i k k k
Σ ≈ B Λ B T + D , D = diag ( d i ) , d i = Σ i i − ∑ j b i j 2 λ j , Var ( w T r ) = ( B T w ) T Λ ( B T w ) + ∑ i w i 2 d i \Sigma\approx B\Lambda B^{T}+D,\qquad D=\operatorname{diag}(d_i),\qquad d_i=\Sigma_{ii}-\sum_{j}b_{ij}^{2}\lambda_j,\qquad \operatorname{Var}(\mathbf w^{T}\mathbf r)=(B^{T}\mathbf w)^{T}\Lambda(B^{T}\mathbf w)+\sum_i w_i^{2}d_i Σ ≈ B Λ B T + D , D = diag ( d i ) , d i = Σ ii − j ∑ b ij 2 λ j , Var ( w T r ) = ( B T w ) T Λ ( B T w ) + i ∑ w i 2 d i (1) 第1項は系統的な部分で、ポートフォリオにはファクターへのエクスポージャー B T w B^{T}\mathbf w B T w B B B k k k λ j \sqrt{\lambda_j} λ j Λ = diag ( λ j ) \Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_j) Λ = diag ( λ j ) d i d_i d i i i i N ( N + 1 ) / 2 N(N+1)/2 N ( N + 1 ) /2 N k + N Nk+N N k + N N = 500 N=500 N = 500 k = 5 k=5 k = 5 d i > 0 d_i>0 d i > 0 N > T N>T N > T k k k
2資産と1ファクター 1つのファクターの分散を
λ = 4 \lambda=4 λ = 4 とします。資産1はローディング
b 1 = 0.8 b_1=0.8 b 1 = 0.8 、固有分散
d 1 = 1 d_1=1 d 1 = 1 、資産2は
b 2 = 0.4 b_2=0.4 b 2 = 0.4 、
d 2 = 1 d_2=1 d 2 = 1 です。ポートフォリオ
w = ( 0.5 , 0.5 ) \mathbf w=(0.5,0.5) w = ( 0.5 , 0.5 ) のエクスポージャーは
0.5 ( 0.8 ) + 0.5 ( 0.4 ) = 0.6 0.5(0.8)+0.5(0.4)=0.6 0.5 ( 0.8 ) + 0.5 ( 0.4 ) = 0.6 、分散は
0.6 2 ⋅ 4 + 0.5 2 ⋅ 1 + 0.5 2 ⋅ 1 = 1.44 + 0.5 = 1.94 0.6^2\cdot4+0.5^2\cdot1+0.5^2\cdot1=1.44+0.5=1.94 0. 6 2 ⋅ 4 + 0. 5 2 ⋅ 1 + 0. 5 2 ⋅ 1 = 1.44 + 0.5 = 1.94 で、そのうち
1.44 1.44 1.44 が系統的です。総分散2.5、ローディング0.5、分散6のファクターを持つ1資産では、系統的部分は
0.5 2 ⋅ 6 = 1.5 0.5^2\cdot6=1.5 0. 5 2 ⋅ 6 = 1.5 、固有分散は
2.5 − 1.5 = 1.0 2.5-1.5=1.0 2.5 − 1.5 = 1.0 で、ファクターは
R 2 = 1.5 / 2.5 = 60 % R^2=1.5/2.5=60\% R 2 = 1.5/2.5 = 60% を説明します。総仕上げの12銘柄では、標準化したリターンの分散の約40%を第1主成分が説明します。
構造 ：Σ ≈ B Λ B T + D \Sigma\approx B\Lambda B^{T}+D Σ ≈ B Λ B T + D 節約 ：N ( N + 1 ) / 2 N(N+1)/2 N ( N + 1 ) /2 N k + N Nk+N N k + N d i > 0 d_i>0 d i > 0 リスクの分解 ：分散＝ファクターエクスポージャー部分＋固有部分。分散投資が消せるのは後者だけ。ファクターはいくつか 数 k k k k k k ラボ：採点される内容 パラメータ数 10点 固有分散 15点 ファクターが説明する割合 10点 ポートフォリオのエクスポージャー 15点 ポートフォリオの分散 20点 モデル行列が逆行列を持つ条件 15点 分散投資が取り除くもの 15点 
