نماذج العوامل المستخرجة من تحليل المكونات الرئيسية

مصفوفة تباين مشترك ذات بنية

يُنقّي القصّ والانكماش مصفوفة كاملة. أما نموذج العوامل فيبني مصفوفة ذات بنية: تقودُ العوائدَ بضعةُ عوامل مشتركة وضجيج خاص بكل أصل، $\mathbf r=B\mathbf f+\boldsymbol\varepsilon$. هنا $B$ مصفوفة الأحمال $N\times k$ و$\mathbf f$ فيها $k\ll N$ من عوائد العوامل بتباين مشترك $\Lambda$ و$\boldsymbol\varepsilon$ هي العوائد الخاصة غير المترابطة فيما بينها ولا مع العوامل بتباينات $d_i$. ويعطي تحليل المكونات الرئيسية نسخة جاهزة: خذ أعلى $k$ مكوّنًا رئيسيًا عوامل.

الحد الأول هو الجزء المنظّم: لا يتعلق بالمحفظة إلا عبر تعرّضاتها للعوامل $B^{T}\mathbf w$. والثاني هو المخاطرة الخاصة. ومن تحليل المكونات الرئيسية تحوي $B$ أول $k$ متجهًا ذاتيًا مضروبة في $\sqrt{\lambda_j}$ (أو المتجهات الذاتية غير المضروبة مع $\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_j)$)، و$d_i$ هو ما لا تفسّره العوامل من تباين الأصل $i$. والتوفير كبير: فبدل $N(N+1)/2$ تباينًا مشتركًا تُقدَّر $Nk+N$ عددًا. وعند $N=500$ و$k=5$ هذه 3000 بدل 125250. ومصفوفة النموذج معرّفة موجبة ما دامت كل $d_i>0$ حتى لو كانت $N>T$، وتجسّد درس القصّ: يُوثق بأول $k$ اتجاهًا ذاتيًا فقط ويصير الباقي ضجيجًا قطريًا.

• البنية: $\Sigma\approx B\Lambda B^{T}+D$ بعوامل قليلة ومصفوفة خاصة قطرية.
• التوفير: $Nk+N$ معاملًا بدل $N(N+1)/2$؛ ومعرّفة موجبة إذا كانت كل $d_i>0$.
• توزيع المخاطرة: التباين = جزء التعرض للعوامل + الجزء الخاص؛ والتنويع يزيل الأخير فقط.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• عدّ المعاملات10 نقطة
• التباين الخاص15 نقطة
• النسبة التي يفسرها العامل10 نقطة
• تعرّض المحفظة15 نقطة
• تباين المحفظة20 نقطة
• متى تنعكس مصفوفة النموذج15 نقطة
• ما يزيله التنويع15 نقطة