Modelos de factores a partir del ACP

Una matriz de covarianza con estructura

El recorte y la contracción limpian una matriz completa. Un modelo de factores construye en cambio una con estructura: los rendimientos los mueven unos pocos factores comunes más un ruido propio de cada activo, $\mathbf r=B\mathbf f+\boldsymbol\varepsilon$. Aquí $B$ es la matriz $N\times k$ de cargas, $\mathbf f$ contiene $k\ll N$ rendimientos de factores con covarianza $\Lambda$, y $\boldsymbol\varepsilon$ son los rendimientos idiosincráticos, no correlacionados entre sí ni con los factores, con varianzas $d_i$. El ACP da una versión ya hecha: tomar las $k$ primeras componentes principales como factores.

El primer término es la parte sistemática: depende de la cartera solo a través de sus exposiciones a los factores $B^{T}\mathbf w$. El segundo es el riesgo idiosincrático. Con el ACP, $B$ contiene los $k$ primeros vectores propios multiplicados por $\sqrt{\lambda_j}$ (o los vectores propios sin escalar con $\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_j)$), y $d_i$ es la varianza del activo $i$ que los factores no explican. El ahorro es grande: en lugar de $N(N+1)/2$ covarianzas se estiman $Nk+N$ números. Para $N=500$ y $k=5$ son 3000 en lugar de 125 250. La matriz del modelo es definida positiva siempre que todos los $d_i>0$, aun si $N>T$, y encarna la lección del recorte: solo se confía en las $k$ primeras direcciones propias y el resto pasa a ser ruido diagonal.

• Estructura: $\Sigma\approx B\Lambda B^{T}+D$, con pocos factores y una matriz idiosincrática diagonal.
• Ahorro: $Nk+N$ parámetros en lugar de $N(N+1)/2$; definida positiva si todos los $d_i>0$.
• Reparto del riesgo: varianza = parte de exposición a factores + parte idiosincrática; la diversificación solo elimina esta última.

Lab: qué se califica

• Contar parámetros10 pts
• Varianza idiosincrática15 pts
• Parte explicada por el factor10 pts
• Exposición de la cartera15 pts
• Varianza de la cartera20 pts
• Cuándo se invierte la matriz del modelo15 pts
• Qué elimina la diversificación15 pts