Modelos de fatores a partir do PCA

Uma matriz de covariância com estrutura

O corte e o encolhimento limpam uma matriz cheia. Um modelo de fatores constrói, em vez disso, uma com estrutura: os retornos são movidos por alguns fatores comuns mais um ruído próprio de cada ativo, $\mathbf r=B\mathbf f+\boldsymbol\varepsilon$. Aqui $B$ é a matriz $N\times k$ de cargas, $\mathbf f$ contém $k\ll N$ retornos de fatores com covariância $\Lambda$, e $\boldsymbol\varepsilon$ são os retornos idiossincráticos, não correlacionados entre si e com os fatores, com variâncias $d_i$. O PCA fornece uma versão pronta: tomar os $k$ primeiros componentes principais como fatores.

O primeiro termo é a parte sistemática: depende da carteira apenas por suas exposições aos fatores $B^{T}\mathbf w$. O segundo é o risco idiossincrático. Com o PCA, $B$ contém os $k$ primeiros autovetores multiplicados por $\sqrt{\lambda_j}$ (ou os autovetores sem escala com $\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_j)$), e $d_i$ é a variância do ativo $i$ que os fatores não explicam. A economia é grande: em vez de $N(N+1)/2$ covariâncias, estimam-se $Nk+N$ números. Para $N=500$ e $k=5$ são 3000 em vez de 125 250. A matriz do modelo é definida positiva sempre que todos os $d_i>0$, mesmo se $N>T$, e incorpora a lição do corte: só as $k$ primeiras direções próprias são confiáveis e o resto vira ruído diagonal.

• Estrutura: $\Sigma\approx B\Lambda B^{T}+D$, com poucos fatores e uma matriz idiossincrática diagonal.
• Economia: $Nk+N$ parâmetros em vez de $N(N+1)/2$; definida positiva se todos os $d_i>0$.
• Divisão do risco: variância = parte de exposição a fatores + parte idiossincrática; a diversificação elimina só a última.

Lab: o que é avaliado

• Contar parâmetros10 pts
• Variância idiossincrática15 pts
• Parte explicada pelo fator10 pts
• Exposição da carteira15 pts
• Variância da carteira20 pts
• Quando a matriz do modelo inverte15 pts
• O que a diversificação elimina15 pts