Modèles à facteurs issus de l'ACP

Une matrice de covariance structurée

L'écrêtage et le rétrécissement nettoient une matrice pleine. Un modèle à facteurs en construit une structurée : les rendements sont portés par quelques facteurs communs plus un bruit propre à chaque actif, $\mathbf r=B\mathbf f+\boldsymbol\varepsilon$ . Ici $B$ est la matrice $N\times k$ des chargements, $\mathbf f$ contient $k\ll N$ rendements de facteurs de covariance $\Lambda$ , et $\boldsymbol\varepsilon$ sont les rendements idiosyncratiques, non corrélés entre eux et avec les facteurs, de variances $d_i$ . L'ACP en fournit une version toute prête : prendre les $k$ premières composantes principales comme facteurs.

\Sigma\approx B\Lambda B^{T}+D,\qquad D=\operatorname{diag}(d_i),\qquad d_i=\Sigma_{ii}-\sum_{j}b_{ij}^{2}\lambda_j,\qquad \operatorname{Var}(\mathbf w^{T}\mathbf r)=(B^{T}\mathbf w)^{T}\Lambda(B^{T}\mathbf w)+\sum_i w_i^{2}d_i

(1)

Le premier terme est la partie systématique : il ne dépend du portefeuille que par ses expositions aux facteurs $B^{T}\mathbf w$ . Le second est le risque idiosyncratique. Avec l'ACP, $B$ contient les $k$ premiers vecteurs propres multipliés par $\sqrt{\lambda_j}$ (ou les vecteurs propres bruts avec $\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_j)$ ), et $d_i$ est la part de variance de l'actif $i$ que les facteurs n'expliquent pas. L'économie est grande : au lieu de $N(N+1)/2$ covariances, on estime $Nk+N$ nombres. Pour $N=500$ et $k=5$ , cela fait 3 000 au lieu de 125 250. La matrice du modèle est définie positive dès que tous les $d_i>0$ , même si $N>T$ , et elle incarne la leçon de l'écrêtage : seules les $k$ premières directions propres sont crues, le reste devient un bruit diagonal.

Deux actifs et un facteurSoit un facteur de variance

\lambda=4

. L'actif 1 a pour chargement

b_1=0{,}8

et variance idiosyncratique

d_1=1

; l'actif 2 a

b_2=0{,}4

d_2=1

. Le portefeuille

\mathbf w=(0{,}5;0{,}5)

a pour exposition

0{,}5(0{,}8)+0{,}5(0{,}4)=0{,}6

. Sa variance est

0{,}6^2\cdot4+0{,}5^2\cdot1+0{,}5^2\cdot1=1{,}44+0{,}5=1{,}94

, dont

1{,}44

systématique. Pour un actif seul de variance totale

2{,}5

, de chargement

0{,}5

et un facteur de variance

6

, la part systématique vaut

0{,}5^2\cdot6=1{,}5

, la variance idiosyncratique

2{,}5-1{,}5=1{,}0

et le facteur en explique

R^2=1{,}5/2{,}5=60\ \%

. Pour les douze actions du projet final, la première composante principale explique environ 40 % de la variance des rendements standardisés.

Structure : $\Sigma\approx B\Lambda B^{T}+D$ , avec peu de facteurs et une matrice idiosyncratique diagonale.
Économie : $Nk+N$ paramètres au lieu de $N(N+1)/2$ ; définie positive si tous les $d_i>0$ .
Partage du risque : variance = part d'exposition aux facteurs + part idiosyncratique ; la diversification n'élimine que cette dernière.

Combien de facteursLe nombre

k

est de nouveau un jugement. Trop peu de facteurs laissent de la structure commune dans les résidus, donc la matrice idiosyncratique n'est pas vraiment diagonale ; trop en importent du bruit. Le bord de Marchenko-Pastur des leçons précédentes est une façon solide de choisir

k

, et le test final est de savoir si la covariance à facteurs donne une variance de portefeuille hors échantillon plus faible que la covariance empirique.

Lab : ce qui est noté

Compter les paramètres10 pts
Variance idiosyncratique15 pts
Part expliquée par le facteur10 pts
Exposition du portefeuille15 pts
Variance du portefeuille20 pts
Quand la matrice du modèle s'inverse15 pts
Ce que la diversification retire15 pts

Une matrice de covariance structurée

\Sigma\approx B\Lambda B^{T}+D,\qquad D=\operatorname{diag}(d_i),\qquad d_i=\Sigma_{ii}-\sum_{j}b_{ij}^{2}\lambda_j,\qquad \operatorname{Var}(\mathbf w^{T}\mathbf r)=(B^{T}\mathbf w)^{T}\Lambda(B^{T}\mathbf w)+\sum_i w_i^{2}d_i

(1)

Deux actifs et un facteurSoit un facteur de variance

\lambda=4

. L'actif 1 a pour chargement

b_1=0{,}8

et variance idiosyncratique

d_1=1

; l'actif 2 a

b_2=0{,}4

d_2=1

. Le portefeuille

\mathbf w=(0{,}5;0{,}5)

a pour exposition

0{,}5(0{,}8)+0{,}5(0{,}4)=0{,}6

. Sa variance est

0{,}6^2\cdot4+0{,}5^2\cdot1+0{,}5^2\cdot1=1{,}44+0{,}5=1{,}94

, dont

1{,}44

systématique. Pour un actif seul de variance totale

2{,}5

, de chargement

0{,}5

et un facteur de variance

6

, la part systématique vaut

0{,}5^2\cdot6=1{,}5

, la variance idiosyncratique

2{,}5-1{,}5=1{,}0

et le facteur en explique

R^2=1{,}5/2{,}5=60\ \%

. Pour les douze actions du projet final, la première composante principale explique environ 40 % de la variance des rendements standardisés.

Structure : $\Sigma\approx B\Lambda B^{T}+D$ , avec peu de facteurs et une matrice idiosyncratique diagonale.
Économie : $Nk+N$ paramètres au lieu de $N(N+1)/2$ ; définie positive si tous les $d_i>0$ .
Partage du risque : variance = part d'exposition aux facteurs + part idiosyncratique ; la diversification n'élimine que cette dernière.

Combien de facteursLe nombre

k

k

, et le test final est de savoir si la covariance à facteurs donne une variance de portefeuille hors échantillon plus faible que la covariance empirique.

Lab : ce qui est noté

Compter les paramètres10 pts
Variance idiosyncratique15 pts
Part expliquée par le facteur10 pts
Exposition du portefeuille15 pts
Variance du portefeuille20 pts
Quand la matrice du modèle s'inverse15 pts
Ce que la diversification retire15 pts

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