Nettoyer la matrice rapporte-t-il ?
Le portefeuille de variance minimale prend une matrice de covariance Σ et renvoie les poids entièrement investis de plus petite variance, w=Σ⁻¹ 1 / ( 1ᵀΣ⁻¹ 1). On dirait des mathématiques pures, mais c'est le test le plus tranchant d'un estimateur de covariance, car il exploite chaque erreur de la matrice. Ce projet final soumet toute la compétence à ce test. Vous estimez Σ sur les 63 derniers jours de bourse, construisez le portefeuille, le détenez les 21 jours suivants, puis avancez, et mesurez la volatilité du portefeuille que vous auriez réellement détenu. Trois estimateurs s'affrontent : la covariance empirique simple, celle à valeurs propres écrêtées et celle rétrécie de Ledoit-Wolf.
N'inversez jamais la matrice : résolvez le système linéaire Σ x= 1 et divisez par la somme, c'est plus rapide et plus précis. La partie honnête, c'est le calendrier. Les poids d'un bloc de jours ne doivent utiliser que les jours qui le précèdent, et le résultat est la volatilité des rendements hors échantillon mis bout à bout, non la variance promise par l'optimiseur. Pour l'écrêtage, on travaille sur la matrice de corrélation, on remplace par leur moyenne les valeurs propres qui ne dépassent pas λ₊, on reconstruit, on remet la diagonale à 1 et l'on multiplie de nouveau par les volatilités. Pour le rétrécissement, on calcule l'intensité avec la formule du fichier de départ, exactement comme dans la leçon précédente, avec S divisée par T.
- Poids : résoudre Σ x= 1 puis diviser par la somme ; ne jamais inverser la matrice.
- Écrêtage et rétrécissement : valeurs propres de bruit remplacées par leur moyenne ; ou mélange avec μI à intensité calculée.
- Backtest : estimer sur les
windowderniers jours, détenirstepjours, avancer et mesurer la volatilité hors échantillon mise bout à bout.
Lab : ce qui est noté
- Écrêtage des valeurs propres25 pts
- Rétrécissement de Ledoit-Wolf25 pts
- Poids de variance minimale10 pts
- Un backtest glissant20 pts
- Comparer les estimateurs20 pts