行列の浄化は報われるか
最小分散ポートフォリオは共分散行列 Σ を受け取り、分散が最小になるフルインベストの重み w=Σ⁻¹ 1 / ( 1ᵀΣ⁻¹ 1) を返します。純粋な数学に見えますが、行列のあらゆる誤差を利用するため、共分散推定器にとって最も鋭いテストです。この総仕上げはスキル全体をこのテストにかけます。直近63営業日から Σ を推定してポートフォリオを作り、次の21日間保有してから先へ進み、実際に保有したであろうポートフォリオのボラティリティを測ります。比べる推定器は3つ、単純な標本共分散、固有値をクリップしたもの、レドイト・ウルフで縮小したものです。
w=(Σ⁻¹ 1)/(1ᵀΣ⁻¹ 1), Σ^(*)=δμI+(1-δ)S, δ=(min(b̄²,d²))/d², λ₊=(1+√(N/T))²
行列の逆行列は決して取らず、線形方程式 Σ x= 1 を解いて合計で割ります。その方が速く正確です。誠実さの要はタイミングです。ある日数ブロックの重みは、それより前の日だけで決めなければならず、結果は最適化が約束した分散ではなく、つなげた標本外リターンのボラティリティです。クリッピングでは相関行列を使い、λ₊ を超えない固有値を平均に置き換えて再構成し、対角を1に再スケールして、ボラティリティを掛け直します。縮小では、前のレッスンと同様に、スターターファイルの式で強度を計算します（S は T で割る）。
実際のデータが語ること2010年以降の米大型株12銘柄で、63日の窓と21日刻み（標本外3,680日）にすると、標本共分散から作った最小分散ポートフォリオの年率ボラティリティは約14.3%です。固有値をクリップした行列では約13.9%、レドイト・ウルフでは約13.7%で、縮小推定が勝ち、同じ銘柄の等ウェイトは約18.4%です。浄化の効果は12資産ではボラティリティで数パーセントですが、数百の資産では q=N/T が1に近くなるため、はるかに大きくなります。窓を長くすると3つの推定器は近づき、126日以上では素のマルチェンコ・パスツールの端でのクリッピングは標本行列よりわずかに悪くなります。どの改良も標本外で検証すべきだという注意です。
- 重み：Σ x= 1 を解いて合計で割る。逆行列は取らない。
- クリッピングと縮小：ノイズ固有値を平均へ、または計算した強度で μI と混合。
- バックテスト：直近
window日で推定し、step日保有して先へ進み、つなげた標本外のボラティリティを測る。
スキル全体の要点共分散行列は事実ではなく推定値であり、それを使う側、とりわけ最適化がその誤りを見つけます。固有値とSVDは行列の情報がどこにあるかを教え、マルチェンコ・パスツールの端と縮小強度はどこまで信頼してよいかを教え、見ていない日でのテストだけが修正がうまくいったかを教えます。この3つの習慣を持ち続けてください。
ラボ：採点される内容
- 固有値のクリッピング25点
- レドイト・ウルフの縮小推定25点
- 最小分散の重み10点
- ローリング・バックテスト20点
- 推定器の比較20点