Le rétrécissement de Ledoit-Wolf

Tirer une estimation vers quelque chose de simple

L'écrêtage décide valeur propre par valeur propre si elle est du signal. Le rétrécissement prend un chemin plus doux : mélanger la matrice empirique bruitée $S$ avec une cible simple et bien conditionnée $F$ , $\Sigma^{*}=(1-\delta)S+\delta F$ , où l'intensité $\delta\in[0,1]$ dit à quel point faire confiance à la cible. La cible classique est une identité à l'échelle $F=\mu I$ avec $\mu=\operatorname{tr}(S)/N$ , la variance moyenne : elle dit que tous les actifs ont la même variance et sont non corrélés. C'est sûrement faux, mais c'est stable, et un peu de cette cible annule beaucoup de bruit.

\Sigma^{*}=(1-\delta)S+\delta\mu I,\qquad \mu=\frac{\operatorname{tr}S}{N},\qquad \delta=\min\!\Big(1,\frac{b^{2}}{d^{2}}\Big),\qquad d^{2}=\frac{\lVert S-\mu I\rVert_F^{2}}{N}

(1)

L'intensité n'est pas un paramètre libre. Ledoit et Wolf ont montré que le meilleur $\delta$ pour cette cible a une forme fermée : le numérateur $b^2$ mesure à quel point $S$ est bruitée (la distance quadratique moyenne des matrices d'un seul jour $\mathbf x_t\mathbf x_t^{T}$ à $S$ , divisée par $T$ et plafonnée à $d^2$ ) et le dénominateur $d^2$ mesure l'éloignement de $S$ à la cible. Une $S$ bruitée proche de sa cible reçoit un grand $\delta$ . Le rétrécissement a trois propriétés nettes : il conserve la trace, il rapproche chaque valeur propre de la moyenne ( $\lambda\mapsto(1-\delta)\lambda+\delta\mu$ ), donc les grandes diminuent et les petites augmentent, et il rend $\Sigma^{*}$ définie positive pour tout $\delta>0$ , même si $S$ est singulière. Quand $T$ croît, le terme de bruit baisse et $\delta\to0$ .

Un exemple 2 sur 2Prenons

S=\begin{pmatrix}4&1\\1&2\end{pmatrix}

\mu=(4+2)/2=3

S-\mu I=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}

de norme de Frobenius au carré 4, donc

d^2=4/2=2

. Si le terme de bruit vaut

b^2=0{,}5

, l'intensité est

\delta=0{,}5/2=0{,}25

. Avec plutôt

\delta=0{,}2

\Sigma^{*}=0{,}8S+0{,}2\cdot3I=\begin{pmatrix}3{,}8&0{,}8\\0{,}8&2{,}2\end{pmatrix}

. Les valeurs propres de

S

sont

3\pm\sqrt2=4{,}414

1{,}586

; celles de

\Sigma^{*}

sont

0{,}8(4{,}414)+0{,}6=4{,}131

0{,}8(1{,}586)+0{,}6=1{,}869

. Le conditionnement passe de

2{,}78

2{,}21

Mélange : $\Sigma^{*}=(1-\delta)S+\delta F$ avec la cible $F=\mu I$ , $\mu=\operatorname{tr}S/N$ .
Intensité : $\delta=\min(1,b^2/d^2)$ ; les matrices bruitées proches de la cible sont plus rétrécies.
Effets : trace conservée, valeurs propres rapprochées de la moyenne, définie positive pour tout $\delta>0$ ; $\delta\to0$ quand $T$ croît.

Un biais vouluLe rétrécissement ajoute volontairement du biais, car la cible est fausse, en échange d'une forte baisse de variance. L'erreur quadratique attendue de l'estimation diminue, et pour l'estimation de covariance avec beaucoup d'actifs, l'échange est en général très favorable. C'est le même marché biais-variance que la régression ridge, et c'est la raison pour laquelle Ledoit-Wolf est l'estimateur de covariance par défaut dans beaucoup de bibliothèques.

Lab : ce qui est noté

Le niveau de la cible10 pts
Une matrice rétrécie20 pts
L'intensité15 pts
Une valeur propre rétrécie15 pts
Le nouveau conditionnement15 pts
Plus de données, moins de rétrécissement15 pts
L'arbitrage biais-variance10 pts

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\Sigma^{*}=(1-\delta)S+\delta\mu I,\qquad \mu=\frac{\operatorname{tr}S}{N},\qquad \delta=\min\!\Big(1,\frac{b^{2}}{d^{2}}\Big),\qquad d^{2}=\frac{\lVert S-\mu I\rVert_F^{2}}{N}

(1)

Un exemple 2 sur 2Prenons

S=\begin{pmatrix}4&1\\1&2\end{pmatrix}

\mu=(4+2)/2=3

S-\mu I=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}

de norme de Frobenius au carré 4, donc

d^2=4/2=2

. Si le terme de bruit vaut

b^2=0{,}5

, l'intensité est

\delta=0{,}5/2=0{,}25

. Avec plutôt

\delta=0{,}2

\Sigma^{*}=0{,}8S+0{,}2\cdot3I=\begin{pmatrix}3{,}8&0{,}8\\0{,}8&2{,}2\end{pmatrix}

. Les valeurs propres de

S

sont

3\pm\sqrt2=4{,}414

1{,}586

; celles de

\Sigma^{*}

sont

0{,}8(4{,}414)+0{,}6=4{,}131

0{,}8(1{,}586)+0{,}6=1{,}869

. Le conditionnement passe de

2{,}78

2{,}21

Mélange : $\Sigma^{*}=(1-\delta)S+\delta F$ avec la cible $F=\mu I$ , $\mu=\operatorname{tr}S/N$ .
Intensité : $\delta=\min(1,b^2/d^2)$ ; les matrices bruitées proches de la cible sont plus rétrécies.
Effets : trace conservée, valeurs propres rapprochées de la moyenne, définie positive pour tout $\delta>0$ ; $\delta\to0$ quand $T$ croît.

Lab : ce qui est noté

Le niveau de la cible10 pts
Une matrice rétrécie20 pts
L'intensité15 pts
Une valeur propre rétrécie15 pts
Le nouveau conditionnement15 pts
Plus de données, moins de rétrécissement15 pts
L'arbitrage biais-variance10 pts

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