La contracción de Ledoit-Wolf

Acercar una estimación a algo sencillo

El recorte decide valor propio por valor propio si es señal. La contracción toma un camino más suave: mezclar la ruidosa matriz muestral $S$ con un objetivo simple y bien condicionado $F$ , $\Sigma^{*}=(1-\delta)S+\delta F$ , donde la intensidad $\delta\in[0,1]$ dice cuánto confiar en el objetivo. El objetivo clásico es una identidad escalada $F=\mu I$ con $\mu=\operatorname{tr}(S)/N$ , la varianza media: dice que todos los activos tienen la misma varianza y no están correlacionados. Seguro que es falso, pero es estable, y un poco de él cancela mucho ruido.

\Sigma^{*}=(1-\delta)S+\delta\mu I,\qquad \mu=\frac{\operatorname{tr}S}{N},\qquad \delta=\min\!\Big(1,\frac{b^{2}}{d^{2}}\Big),\qquad d^{2}=\frac{\lVert S-\mu I\rVert_F^{2}}{N}

(1)

La intensidad no es un parámetro libre. Ledoit y Wolf mostraron que el mejor $\delta$ para este objetivo tiene forma cerrada: el numerador $b^2$ mide cuán ruidosa es $S$ (la distancia cuadrática media de las matrices de un solo día $\mathbf x_t\mathbf x_t^{T}$ a $S$ , dividida por $T$ y acotada por $d^2$ ) y el denominador $d^2$ mide cuán lejos está $S$ del objetivo. Una $S$ ruidosa cercana a su objetivo recibe un $\delta$ grande. La contracción tiene tres propiedades limpias: conserva la traza, acerca cada valor propio a la media ( $\lambda\mapsto(1-\delta)\lambda+\delta\mu$ ), de modo que los grandes bajan y los pequeños suben, y hace $\Sigma^{*}$ definida positiva para cualquier $\delta>0$ , incluso si $S$ es singular. A medida que $T$ crece, el término de ruido baja y $\delta\to0$ .

Un ejemplo de 2 por 2Tomemos

S=\begin{pmatrix}4&1\\1&2\end{pmatrix}

, con lo que

\mu=(4+2)/2=3

S-\mu I=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}

con norma de Frobenius al cuadrado 4, de ahí

d^2=4/2=2

. Si el término de ruido es

b^2=0{,}5

, la intensidad es

\delta=0{,}5/2=0{,}25

. Con

\delta=0{,}2

en su lugar,

\Sigma^{*}=0{,}8S+0{,}2\cdot3I=\begin{pmatrix}3{,}8&0{,}8\\0{,}8&2{,}2\end{pmatrix}

. Los valores propios de

S

son

3\pm\sqrt2=4{,}414

1{,}586

; los de

\Sigma^{*}

son

0{,}8(4{,}414)+0{,}6=4{,}131

0{,}8(1{,}586)+0{,}6=1{,}869

. El número de condición mejora de

2{,}78

2{,}21

Mezcla: $\Sigma^{*}=(1-\delta)S+\delta F$ con el objetivo $F=\mu I$ , $\mu=\operatorname{tr}S/N$ .
Intensidad: $\delta=\min(1,b^2/d^2)$ ; las matrices ruidosas cercanas al objetivo se contraen más.
Efectos: traza conservada, valores propios acercados a la media, definida positiva para todo $\delta>0$ ; $\delta\to0$ al crecer $T$ .

Un sesgo a propósitoLa contracción añade sesgo deliberadamente, porque el objetivo es erróneo, a cambio de una gran reducción de varianza. El error cuadrático esperado de la estimación baja, y en la estimación de covarianza con muchos activos el trato suele ser muy favorable. Es el mismo trato sesgo-varianza que la regresión ridge y es la razón por la que Ledoit-Wolf es el estimador de covarianza por defecto en muchas bibliotecas.

Lab: qué se califica

El nivel del objetivo10 pts
Una matriz contraída20 pts
La intensidad15 pts
Un valor propio contraído15 pts
El nuevo número de condición15 pts
Más datos, menos contracción15 pts
El equilibrio sesgo-varianza10 pts

Acercar una estimación a algo sencillo

\Sigma^{*}=(1-\delta)S+\delta\mu I,\qquad \mu=\frac{\operatorname{tr}S}{N},\qquad \delta=\min\!\Big(1,\frac{b^{2}}{d^{2}}\Big),\qquad d^{2}=\frac{\lVert S-\mu I\rVert_F^{2}}{N}

(1)

Un ejemplo de 2 por 2Tomemos

S=\begin{pmatrix}4&1\\1&2\end{pmatrix}

, con lo que

\mu=(4+2)/2=3

S-\mu I=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}

con norma de Frobenius al cuadrado 4, de ahí

d^2=4/2=2

. Si el término de ruido es

b^2=0{,}5

, la intensidad es

\delta=0{,}5/2=0{,}25

. Con

\delta=0{,}2

en su lugar,

\Sigma^{*}=0{,}8S+0{,}2\cdot3I=\begin{pmatrix}3{,}8&0{,}8\\0{,}8&2{,}2\end{pmatrix}

. Los valores propios de

S

son

3\pm\sqrt2=4{,}414

1{,}586

; los de

\Sigma^{*}

son

0{,}8(4{,}414)+0{,}6=4{,}131

0{,}8(1{,}586)+0{,}6=1{,}869

. El número de condición mejora de

2{,}78

2{,}21

Mezcla: $\Sigma^{*}=(1-\delta)S+\delta F$ con el objetivo $F=\mu I$ , $\mu=\operatorname{tr}S/N$ .
Intensidad: $\delta=\min(1,b^2/d^2)$ ; las matrices ruidosas cercanas al objetivo se contraen más.
Efectos: traza conservada, valores propios acercados a la media, definida positiva para todo $\delta>0$ ; $\delta\to0$ al crecer $T$ .

Lab: qué se califica

El nivel del objetivo10 pts
Una matriz contraída20 pts
La intensidad15 pts
Un valor propio contraído15 pts
El nuevo número de condición15 pts
Más datos, menos contracción15 pts
El equilibrio sesgo-varianza10 pts

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