レドイト・ウルフの縮小推定

推定を単純なものに近づける

クリッピングは固有値ごとにシグナルかどうかを決めます。縮小推定はもっと滑らかな道を取り、ノイズの多い標本行列 $S$ を、単純で条件の良い目標 $F$ と混ぜます。$\Sigma^{*}=(1-\delta)S+\delta F$ で、強度 $\delta\in[0,1]$ が目標をどれだけ信頼するかを表します。古典的な目標は平均分散 $\mu=\operatorname{tr}(S)/N$ を使ったスケール付き単位行列 $F=\mu I$ で、全資産の分散が同じで無相関だと主張します。これは確実に間違いですが安定していて、少し混ぜるだけで多くのノイズを打ち消せます。

強度は自由なパラメータではありません。レドイトとウルフは、この目標に対する最適な $\delta$ に閉じた式があることを示しました。分子 $b^2$ は $S$ のノイズの大きさ（1日分の行列 $\mathbf x_t\mathbf x_t^{T}$ の $S$ からの平均2乗距離を $T$ で割り、$d^2$ で頭打ちにしたもの）を表し、分母 $d^2$ は $S$ が目標からどれだけ離れているかを表します。ノイズが大きく目標に近い $S$ には大きな $\delta$ が与えられます。縮小には3つの整った性質があります。トレースを保つこと、各固有値を平均に近づける（$\lambda\mapsto(1-\delta)\lambda+\delta\mu$）ので大きい方は縮み小さい方は増えること、そして $S$ が特異でも $\delta>0$ なら $\Sigma^{*}$ が正定値になることです。$T$ が増えるとノイズ項が減り $\delta\to0$ になります。

• 混合：目標 $F=\mu I$（$\mu=\operatorname{tr}S/N$）で $\Sigma^{*}=(1-\delta)S+\delta F$。
• 強度：$\delta=\min(1,b^2/d^2)$。ノイズが大きく目標に近い行列ほど強く縮小される。
• 効果：トレース保存、固有値が平均へ近づく、$\delta>0$ なら正定値、$T$ が増えると $\delta\to0$。

ラボ：採点される内容

• 目標の水準10点
• 縮小した行列20点
• 強度15点
• 縮小後の固有値15点
• 新しい条件数15点
• データが増えれば縮小は弱まる15点
• バイアスと分散のトレードオフ10点