Recorte de valores propios y Marchenko-Pastur

Distinguir los valores propios de señal del ruido

Si los rendimientos fueran ruido puro sin estructura, los valores propios de su matriz de correlación igualmente se repartirían en un intervalo conocido, el intervalo de Marchenko-Pastur $[\lambda_-,\lambda_+]$ con $\lambda_\pm=(1\pm\sqrt q)^2$ y $q=N/T$ . Ese intervalo es una regla. Un valor propio de la matriz de correlación muestral por encima de $\lambda_+$ es mayor de lo que el ruido puede explicar, así que refleja un factor común real. Los valores propios dentro del intervalo son indistinguibles del ruido: sus vectores propios son direcciones aleatorias que no informan sobre el futuro.

\lambda_i'=\begin{cases}\lambda_i,&\lambda_i>\lambda_+\\[2pt]\bar\lambda_{\mathrm{noise}},&\lambda_i\le\lambda_+\end{cases},\qquad \bar\lambda_{\mathrm{noise}}=\frac{1}{k}\sum_{\lambda_i\le\lambda_+}\lambda_i,\qquad C_{\mathrm{clean}}=Q\Lambda'Q^{T}

(1)

El recorte de valores propios actúa sobre este veredicto. Se conservan los valores propios por encima de $\lambda_+$ y se sustituyen todos los demás por su propia media $\bar\lambda_{\mathrm{noise}}$ , lo que aplana la parte ruidosa del espectro. Promediar en lugar de poner cero conserva la traza, que en una matriz de correlación es $N$ , y mantiene la matriz definida positiva y por tanto invertible, lo que necesita un optimizador. Después se reconstruye $C_{\mathrm{clean}}=Q\Lambda'Q^{T}$ y se reescala para que su diagonal sea exactamente 1, porque la sustitución cambia ligeramente la diagonal. Hay dos refinamientos habituales. El modo de mercado absorbe varianza, así que el nivel de ruido es en realidad $\sigma^2\approx1-\lambda_1/N$ y no 1. Y la ley de Marchenko-Pastur supone observaciones independientes y colas finas, así que el borde es una guía, no una prueba precisa; compruebe la matriz depurada fuera de muestra.

Cuatro activos, dieciséis observacionesSupongamos

N=4

T=16

, así que

q=0{,}25

\lambda_+=(1+0{,}5)^2=2{,}25

. La matriz de correlación muestral tiene valores propios

2{,}60;\,0{,}80;\,0{,}40;\,0{,}20

(suman

N=4

). Solo

2{,}60

supera

2{,}25

: un valor propio de señal, el factor común de mercado. Los otros tres son ruido, con media

(0{,}80+0{,}40+0{,}20)/3=0{,}4667

. El espectro depurado es

2{,}60;\,0{,}4667;\,0{,}4667;\,0{,}4667

, que sigue sumando 4 y tiene un valor propio mínimo de

0{,}47

en lugar de

0{,}20

, de modo que su número de condición baja de

13

a unos

5{,}6

. Para un problema mayor con

q=0{,}4

el borde superior es

(1+\sqrt{0{,}4})^2=2{,}665

Borde: los valores propios por encima de $(1+\sqrt q)^2$ son señal; los del interior del intervalo son ruido.
Recorte: sustituir los valores propios de ruido por su media, conservando la traza y el carácter definido positivo.
Cierre: reconstruir $Q\Lambda'Q^{T}$ y reescalar la diagonal a 1; validar siempre fuera de muestra.

Una referencia, no un veredictoLos rendimientos reales tienen colas gruesas y volatilidad que cambia con el tiempo, lo que dispersa los valores propios de ruido más allá del borde teórico. Trate

\lambda_+

como un umbral inicial razonable para cuántas componentes conservar y deje que una prueba fuera de muestra decida si la depuración realmente ayuda. Eso es exactamente lo que hace el proyecto final.

Lab: qué se califica

El borde superior15 pts
Contar valores propios de señal10 pts
El valor de sustitución15 pts
La traza se conserva10 pts
El algoritmo de recorte15 pts
Por qué la media15 pts
Qué significa un valor propio por encima del borde20 pts

Distinguir los valores propios de señal del ruido

\lambda_i'=\begin{cases}\lambda_i,&\lambda_i>\lambda_+\\[2pt]\bar\lambda_{\mathrm{noise}},&\lambda_i\le\lambda_+\end{cases},\qquad \bar\lambda_{\mathrm{noise}}=\frac{1}{k}\sum_{\lambda_i\le\lambda_+}\lambda_i,\qquad C_{\mathrm{clean}}=Q\Lambda'Q^{T}

(1)

Cuatro activos, dieciséis observacionesSupongamos

N=4

T=16

, así que

q=0{,}25

\lambda_+=(1+0{,}5)^2=2{,}25

. La matriz de correlación muestral tiene valores propios

2{,}60;\,0{,}80;\,0{,}40;\,0{,}20

(suman

N=4

). Solo

2{,}60

supera

2{,}25

: un valor propio de señal, el factor común de mercado. Los otros tres son ruido, con media

(0{,}80+0{,}40+0{,}20)/3=0{,}4667

. El espectro depurado es

2{,}60;\,0{,}4667;\,0{,}4667;\,0{,}4667

, que sigue sumando 4 y tiene un valor propio mínimo de

0{,}47

en lugar de

0{,}20

, de modo que su número de condición baja de

13

a unos

5{,}6

. Para un problema mayor con

q=0{,}4

el borde superior es

(1+\sqrt{0{,}4})^2=2{,}665

Borde: los valores propios por encima de $(1+\sqrt q)^2$ son señal; los del interior del intervalo son ruido.
Recorte: sustituir los valores propios de ruido por su media, conservando la traza y el carácter definido positivo.
Cierre: reconstruir $Q\Lambda'Q^{T}$ y reescalar la diagonal a 1; validar siempre fuera de muestra.

\lambda_+

como un umbral inicial razonable para cuántas componentes conservar y deje que una prueba fuera de muestra decida si la depuración realmente ayuda. Eso es exactamente lo que hace el proyecto final.

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El borde superior15 pts
Contar valores propios de señal10 pts
El valor de sustitución15 pts
La traza se conserva10 pts
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