Écrêtage des valeurs propres et Marchenko-Pastur

Distinguer les valeurs propres de signal du bruit

Si les rendements étaient du pur bruit sans structure, les valeurs propres de leur matrice de corrélation seraient tout de même étalées sur un intervalle connu, l'intervalle de Marchenko-Pastur $[\lambda_-,\lambda_+]$ avec $\lambda_\pm=(1\pm\sqrt q)^2$ et $q=N/T$ . Cet intervalle est une règle graduée. Une valeur propre de la matrice de corrélation empirique au-dessus de $\lambda_+$ est plus grande que ce que le bruit peut expliquer : elle reflète un vrai facteur commun. Les valeurs propres à l'intérieur de l'intervalle sont indiscernables du bruit : leurs vecteurs propres sont des directions aléatoires qui n'informent pas sur le futur.

\lambda_i'=\begin{cases}\lambda_i,&\lambda_i>\lambda_+\\[2pt]\bar\lambda_{\mathrm{noise}},&\lambda_i\le\lambda_+\end{cases},\qquad \bar\lambda_{\mathrm{noise}}=\frac{1}{k}\sum_{\lambda_i\le\lambda_+}\lambda_i,\qquad C_{\mathrm{clean}}=Q\Lambda'Q^{T}

(1)

L'écrêtage des valeurs propres agit sur ce verdict. On garde les valeurs propres au-dessus de $\lambda_+$ et l'on remplace toutes les autres par leur propre moyenne $\bar\lambda_{\mathrm{noise}}$ , ce qui aplatit la partie bruitée du spectre. Prendre la moyenne plutôt que zéro conserve la trace, qui vaut $N$ pour une matrice de corrélation, et garde la matrice définie positive donc inversible, ce dont un optimiseur a besoin. On reconstruit ensuite $C_{\mathrm{clean}}=Q\Lambda'Q^{T}$ et on la remet à l'échelle pour que sa diagonale vaille exactement 1, car le remplacement modifie légèrement la diagonale. Deux raffinements sont courants. Le mode de marché absorbe de la variance, donc le niveau de bruit est en réalité $\sigma^2\approx1-\lambda_1/N$ plutôt que 1. Et la loi de Marchenko-Pastur suppose des observations indépendantes et des queues fines : le bord est un repère, non un test précis ; vérifiez la matrice nettoyée hors échantillon.

Quatre actifs, seize observationsSupposons

N=4

T=16

, donc

q=0{,}25

\lambda_+=(1+0{,}5)^2=2{,}25

. La matrice de corrélation empirique a pour valeurs propres

2{,}60 ;\,0{,}80 ;\,0{,}40 ;\,0{,}20

(leur somme vaut

N=4

). Seule

2{,}60

dépasse

2{,}25

: une valeur propre de signal, le facteur de marché commun. Les trois autres sont du bruit, de moyenne

(0{,}80+0{,}40+0{,}20)/3=0{,}4667

. Le spectre nettoyé est

2{,}60 ;\,0{,}4667 ;\,0{,}4667 ;\,0{,}4667

, de somme toujours 4 et de plus petite valeur propre

0{,}47

au lieu de

0{,}20

: son conditionnement passe de

13

à environ

5{,}6

. Pour un problème plus grand avec

q=0{,}4

, le bord supérieur est

(1+\sqrt{0{,}4})^2=2{,}665

Bord : les valeurs propres au-dessus de $(1+\sqrt q)^2$ sont du signal ; celles dans l'intervalle sont du bruit.
Écrêtage : remplacer les valeurs propres de bruit par leur moyenne, ce qui conserve la trace et le caractère défini positif.
Finition : reconstruire $Q\Lambda'Q^{T}$ et remettre la diagonale à 1 ; toujours valider hors échantillon.

Un repère, pas un verdictLes vrais rendements ont des queues épaisses et une volatilité qui change dans le temps, ce qui étale les valeurs propres de bruit au-delà du bord théorique. Voyez

\lambda_+

comme un seuil de départ raisonnable pour le nombre de composantes à garder, et laissez un test hors échantillon décider si le nettoyage aide vraiment. C'est exactement ce que fait le projet final.

Lab : ce qui est noté

Le bord supérieur15 pts
Compter les valeurs propres de signal10 pts
La valeur de remplacement15 pts
La trace est conservée10 pts
L'algorithme d'écrêtage15 pts
Pourquoi la moyenne15 pts
Ce que signifie une valeur propre au-dessus du bord20 pts

Distinguer les valeurs propres de signal du bruit

\lambda_i'=\begin{cases}\lambda_i,&\lambda_i>\lambda_+\\[2pt]\bar\lambda_{\mathrm{noise}},&\lambda_i\le\lambda_+\end{cases},\qquad \bar\lambda_{\mathrm{noise}}=\frac{1}{k}\sum_{\lambda_i\le\lambda_+}\lambda_i,\qquad C_{\mathrm{clean}}=Q\Lambda'Q^{T}

(1)

Quatre actifs, seize observationsSupposons

N=4

T=16

, donc

q=0{,}25

\lambda_+=(1+0{,}5)^2=2{,}25

. La matrice de corrélation empirique a pour valeurs propres

2{,}60 ;\,0{,}80 ;\,0{,}40 ;\,0{,}20

(leur somme vaut

N=4

). Seule

2{,}60

dépasse

2{,}25

: une valeur propre de signal, le facteur de marché commun. Les trois autres sont du bruit, de moyenne

(0{,}80+0{,}40+0{,}20)/3=0{,}4667

. Le spectre nettoyé est

2{,}60 ;\,0{,}4667 ;\,0{,}4667 ;\,0{,}4667

, de somme toujours 4 et de plus petite valeur propre

0{,}47

au lieu de

0{,}20

: son conditionnement passe de

13

à environ

5{,}6

. Pour un problème plus grand avec

q=0{,}4

, le bord supérieur est

(1+\sqrt{0{,}4})^2=2{,}665

Bord : les valeurs propres au-dessus de $(1+\sqrt q)^2$ sont du signal ; celles dans l'intervalle sont du bruit.
Écrêtage : remplacer les valeurs propres de bruit par leur moyenne, ce qui conserve la trace et le caractère défini positif.
Finition : reconstruire $Q\Lambda'Q^{T}$ et remettre la diagonale à 1 ; toujours valider hors échantillon.

Un repère, pas un verdictLes vrais rendements ont des queues épaisses et une volatilité qui change dans le temps, ce qui étale les valeurs propres de bruit au-delà du bord théorique. Voyez

\lambda_+

Lab : ce qui est noté

Le bord supérieur15 pts
Compter les valeurs propres de signal10 pts
La valeur de remplacement15 pts
La trace est conservée10 pts
L'algorithme d'écrêtage15 pts
Pourquoi la moyenne15 pts
Ce que signifie une valeur propre au-dessus du bord20 pts

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