Position in der SkillModul 4 von 5 · Thema 2 von 3
4.2 Eigenwert-Clipping und Marchenko-Pastur
—Lab-Punkte— / 100XP gesamt—Serie—
Signal-Eigenwerte vom Rauschen unterscheiden
Wären Renditen reines Rauschen ohne Struktur, wären die Eigenwerte ihrer Korrelationsmatrix trotzdem über ein bekanntes Intervall verteilt, das Marchenko-Pastur-Intervall [λ−,λ+] mit λ±=(1±q)2 und q=N/T. Dieses Intervall ist ein Maßstab. Ein Eigenwert der Stichprobenkorrelationsmatrix oberhalb von λ+ ist größer, als Rauschen erklären kann, und spiegelt daher einen echten gemeinsamen Faktor. Eigenwerte innerhalb des Intervalls sind vom Rauschen nicht zu unterscheiden: Ihre Eigenvektoren sind zufällige Richtungen ohne Information über die Zukunft.
Das Eigenwert-Clipping setzt dieses Urteil um. Man behält die Eigenwerte oberhalb von λ+ und ersetzt alle anderen durch ihren eigenen Mittelwert λˉnoise, was den verrauschten Teil des Spektrums einebnet. Der Mittelwert statt null erhält die Spur, die bei einer Korrelationsmatrix N beträgt, und hält die Matrix positiv definit und damit invertierbar, was ein Optimierer braucht. Dann baut man Cclean=QΛ′QT neu auf und skaliert so, dass die Diagonale genau 1 ist, weil der Ersatz die Diagonale leicht verändert. Zwei Verfeinerungen sind üblich. Der Marktmodus saugt Varianz auf, das Rauschniveau ist also eigentlich σ2≈1−λ1/N statt 1. Und das Marchenko-Pastur-Gesetz setzt unabhängige Beobachtungen und dünne Ränder voraus, der Rand ist also ein Anhaltspunkt, kein genauer Test; prüfen Sie die bereinigte Matrix außerhalb der Stichprobe.
Vier Anlagen, sechzehn BeobachtungenAngenommen N=4, T=16, also q=0,25 und λ+=(1+0,5)2=2,25. Die Stichprobenkorrelationsmatrix hat die Eigenwerte 2,60;0,80;0,40;0,20 (Summe N=4). Nur 2,60 übersteigt 2,25: ein Signal-Eigenwert, der gemeinsame Marktfaktor. Die anderen drei sind Rauschen mit dem Mittel (0,80+0,40+0,20)/3=0,4667. Das bereinigte Spektrum ist 2,60;0,4667;0,4667;0,4667, summiert sich weiter zu 4 und hat den kleinsten Eigenwert 0,47 statt 0,20, die Konditionszahl sinkt also von 13 auf etwa 5,6. Bei einem größeren Problem mit q=0,4 ist der obere Rand (1+0,4)2=2,665.
Rand: Eigenwerte oberhalb von (1+q)2 sind Signal; die im Intervall sind Rauschen.
Clipping: Rausch-Eigenwerte durch ihren Mittelwert ersetzen, Spur und positive Definitheit bleiben erhalten.
Abschluss: QΛ′QT neu aufbauen und die Diagonale auf 1 skalieren; stets außerhalb der Stichprobe validieren.
Ein Anhaltspunkt, kein UrteilEchte Renditen haben schwere Ränder und zeitlich veränderliche Volatilität, was die Rausch-Eigenwerte über den theoretischen Rand hinaus streut. Betrachten Sie λ+ als vernünftige Startschwelle dafür, wie viele Komponenten man behält, und lassen Sie einen Test außerhalb der Stichprobe entscheiden, ob die Bereinigung wirklich hilft. Genau das tut das Abschlussprojekt.
Lab: Was bewertet wird
Der obere Rand15 Pkt.
Signal-Eigenwerte zählen10 Pkt.
Der Ersatzwert15 Pkt.
Die Spur bleibt10 Pkt.
Der Clipping-Algorithmus15 Pkt.
Warum der Mittelwert15 Pkt.
Was ein Eigenwert über dem Rand bedeutet20 Pkt.
0/ 7 beantwortet
1Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet
Wie groß ist für N = 200 Anlagen und T = 500 Beobachtungen (q = 0,4) der obere Marchenko-Pastur-Rand (1+q)2? Geben Sie drei Nachkommastellen an.
lambda+=akzeptiert: ± 0.005
2Numerische Antwort10 Pkt.Nicht beantwortet
Eine Korrelationsmatrix mit q = 0,25 (oberer Rand 2,25) hat die Eigenwerte 2,60; 0,80; 0,40 und 0,20. Wie viele liegen über dem Rand?
signal=akzeptiert: ± 0.01
3Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet
Für dieselbe Matrix werden die drei Rausch-Eigenwerte 0,80; 0,40 und 0,20 durch ihren Mittelwert ersetzt. Wie lautet der gemeinsame Wert? Geben Sie vier Nachkommastellen an.
average=akzeptiert: ± 0.001
4Lücken füllen10 Pkt.Nicht beantwortet
Eine Korrelationsmatrix von N=4 Anlagen hat die Spur 4. Nach dem Clipping addieren sich die Eigenwerte weiter zur selben Zahl. Ergänzen Sie.
i∑λi′=
5Schritte ordnen15 Pkt.Nicht beantwortet
Bringen Sie die Schritte des Eigenwert-Clippings in die richtige Reihenfolge.
Zum Umsortieren ziehen, oder ein Element fokussieren, mit Leertaste anheben, mit Pfeiltasten bewegen und mit Leertaste ablegen.
1So skalieren, dass die Diagonale genau 1 ist
2Eigenwerte am Rand oder darunter durch ihren Mittelwert ersetzen
3Die Stichprobenkorrelationsmatrix und ihre Eigenzerlegung berechnen
4Die Matrix als QΛ′QT neu aufbauen
5Den Rand (1+N/T)2 bestimmen
6Auswahl15 Pkt.Nicht beantwortet
Warum werden die Rausch-Eigenwerte durch ihren Mittelwert statt durch null ersetzt?
7In Worten erklären20 Pkt.Nicht beantwortet
Sagen Sie in ein bis zwei Sätzen, was es bedeutet, wenn ein Eigenwert der Stichprobenkorrelationsmatrix über dem oberen Marchenko-Pastur-Rand liegt, und was, wenn er innerhalb liegt.
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