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4.1 Stichprobenkovarianz und ihr Rauschen
—Lab-Punkte— / 100XP gesamt—Serie—
Eine erwartungstreue Schätzung, die trotzdem falsch ist
Die Stichprobenkovarianzmatrix S=T−11XcTXc ist erwartungstreu: Im Mittel über viele Stichproben gleicht sie der wahren Σ. Das klingt beruhigend und täuscht. Ein Portfolio aus N Anlagen hat N(N+1)/2 Kovarianzparameter, bei N=100 sind das 5050, geschätzt aus T Beobachtungen von N Renditen. Ist N im Vergleich zu T nicht klein, ist jeder Eintrag verrauscht und, schlimmer, die Eigenwerte von S sind systematisch gespreizt: die großen zu groß, die kleinen zu klein, selbst wenn die Wahrheit lauter gleiche Eigenwerte hat.
q=TN,λ±=σ2(1±q)2,VpromVreal≈(1−q)21(1)
Ist die wahre Kovarianz die Einheitsmatrix (σ2=1, alle Eigenwerte 1) und sind N,T groß, füllen die Eigenwerte von S das Intervall [λ−,λ+] der ersten Formel, die Marchenko-Pastur-Ränder. Bei q=0,25 ist das [0,25;2,25], eine Spreizung von neun zu eins, wo die Wahrheit keine hat. Bei N>T−1 hat S höchstens den Rang T−1, ist also singulär mit Eigenwerten null. Ein Minimum-Varianz-Optimierer ist das schlimmste Opfer: Er lädt sich in den Richtungen auf, in denen S die wenigste Varianz zeigt, also genau dort, wo S das Risiko am stärksten unterschätzt. Simulationen mit Σ=I zeigen, dass die realisierte Varianz des Stichproben-Minimum-Varianz-Portfolios etwa 1/(1−q)2 mal die in der Stichprobe versprochene Varianz und 1/(1−q) mal das wahre Minimum beträgt.
Fünfhundert Aktien, zwei JahreSchätzen Sie die Kovarianz von N=500 Aktien aus zwei Jahren Tagesdaten, T=504. Dann ist q=500/504≈0,99, und die Marchenko-Pastur-Ränder für eine Einheitswahrheit sind λ−=(1−0,996)2≈0,00002 und λ+=(1+0,996)2≈3,98: Die kleinsten Eigenwerte sind praktisch null, S ist fast singulär und ihre Inverse vom Rauschen dominiert. Die Matrix hat 500×501/2=125250 verschiedene Einträge, aber nur 504×500 Zahlen dahinter. Dagegen haben die zwölf Aktien des Abschlussprojekts mit 4184 Tagen q=0,003, die Ränder liegen bei etwa 0,89 und 1,11, und Rauschen ist dort ein kleines Problem.
Erwartungstreu, aber verrauscht: E[S]=Σ, doch bei großem q=N/T sind die Eigenwerte von S gespreizt.
Ränder: Bei Einheitswahrheit liegen die Stichprobeneigenwerte in [(1−q)2,(1+q)2].
Rang: Bei N>T−1 ist die Stichprobenkovarianz singulär; ein Optimierer nutzt ihre kleinsten Eigenwerte aus.
Optimierer maximieren den FehlerEin Portfoliooptimierer liest die Kovarianzmatrix als Wahrheit und konzentriert sich dort, wo die Matrix Risiko am billigsten nennt. Schätzfehler mitteln sich daher nicht weg, sie werden ausgewählt. Die Heilmittel der nächsten Lektionen schrumpfen oder säubern alle die Eigenwerte, weil dort der Schaden sitzt, und sie werden auf die einzig ehrliche Weise beurteilt: an der Portfoliovarianz auf Daten, die der Schätzer nie gesehen hat.
Lab: Was bewertet wird
Der obere Rand15 Pkt.
Der untere Rand10 Pkt.
Parameter zählen10 Pkt.
Der maximale Rang10 Pkt.
Realisierte gegenüber versprochener Varianz15 Pkt.
Warum Optimierer das Rauschen verstärken20 Pkt.
Das Rauschen senken20 Pkt.
0/ 7 beantwortet
1Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet
Bei einer wahren Kovarianz gleich der Einheitsmatrix und q = N/T = 0,25: Wie groß ist der obere Marchenko-Pastur-Rand (1+q)2?
lambda+=akzeptiert: ± 0.01
2Numerische Antwort10 Pkt.Nicht beantwortet
Wie groß ist für dasselbe q = 0,25 der untere Rand (1−q)2?
lambda−=akzeptiert: ± 0.005
3Numerische Antwort10 Pkt.Nicht beantwortet
Wie viele verschiedene Einträge hat die Kovarianzmatrix von N = 100 Anlagen, N(N+1)/2?
entries=akzeptiert: ± 0.5
4Numerische Antwort10 Pkt.Nicht beantwortet
Eine Stichprobenkovarianzmatrix von N = 50 Anlagen wird aus T = 30 Tagesbeobachtungen gebildet. Was ist der größtmögliche Rang, T−1?
rank=akzeptiert: ± 0.01
5Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet
Bei wahrer Einheitskovarianz und q = 0,2 beträgt die realisierte Varianz des Stichproben-Minimum-Varianz-Portfolios etwa 1/(1−q)2 mal die in der Stichprobe versprochene Varianz. Wie groß ist dieser Faktor? Geben Sie zwei Nachkommastellen an.
factor=akzeptiert: ± 0.01
6Auswahl20 Pkt.Nicht beantwortet
Warum schneidet ein Minimum-Varianz-Optimierer mit einer verrauschten Stichprobenkovarianzmatrix so schlecht ab?
7In Worten erklären20 Pkt.Nicht beantwortet
Nennen Sie in ein bis zwei Sätzen zwei Wege, eine Stichprobenkovarianzmatrix weniger verrauscht zu machen.
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