Covariance empirique et son bruit

Une estimation sans biais qui reste fausse

La matrice de covariance empirique $S=\frac1{T-1}X_c^{T}X_c$ est sans biais : en moyenne sur de nombreux échantillons elle vaut la vraie $\Sigma$. C'est rassurant et trompeur. Un portefeuille de $N$ actifs a $N(N+1)/2$ paramètres de covariance, soit 5 050 pour $N=100$, estimés à partir de $T$ observations de $N$ rendements. Quand $N$ n'est pas petit devant $T$, chaque coefficient est bruité et, pire, les valeurs propres de $S$ sont systématiquement étalées : les grandes trop grandes, les petites trop petites, même si la vérité a toutes ses valeurs propres égales.

Si la vraie covariance est l'identité ($\sigma^2=1$, toutes les valeurs propres égales à 1) et $N,T$ sont grands, les valeurs propres de $S$ remplissent l'intervalle $[\lambda_-,\lambda_+]$ de la première formule, les bords de Marchenko-Pastur. Avec $q=0{,}25$, c'est $[0{,}25;\,2{,}25]$, un étalement de neuf contre un là où la vérité n'en a aucun. Quand $N>T-1$, $S$ est de rang au plus $T-1$ : elle est singulière et a des valeurs propres nulles. Un optimiseur de variance minimale en est la pire victime : il se charge dans les directions où $S$ montre le moins de variance, précisément celles où $S$ sous-estime le plus le risque. Des simulations avec $\Sigma=I$ montrent que la variance réalisée du portefeuille de variance minimale empirique vaut environ $1/(1-q)^2$ fois la variance promise dans l'échantillon, et $1/(1-q)$ fois le vrai minimum.

• Sans biais mais bruitée : $E[S]=\Sigma$, mais pour un grand $q=N/T$ les valeurs propres de $S$ sont étalées.
• Bords : pour une vérité unité, les valeurs propres empiriques sont dans $[(1-\sqrt q)^2,(1+\sqrt q)^2]$.
• Rang : pour $N>T-1$ la covariance empirique est singulière ; un optimiseur exploite ses plus petites valeurs propres.

Lab : ce qui est noté

• Le bord supérieur15 pts
• Le bord inférieur10 pts
• Compter les paramètres10 pts
• Le rang maximal10 pts
• Variance réalisée contre promise15 pts
• Pourquoi les optimiseurs amplifient le bruit20 pts
• Réduire le bruit20 pts