ACP des courbes de taux

Toute une courbe de taux en trois nombres

Les rendements du Trésor américain existent en une douzaine d'échéances, d'un mois à trente ans, et bougent tous chaque jour. Mais ils ne bougent pas indépendamment : un choc sur le taux directeur se propage régulièrement le long de la courbe. Les variations quotidiennes de rendement sont donc un cas idéal pour l'ACP. Les composantes principales de leur matrice de covariance ont une forme stable et lisible que les opérateurs nomment depuis des décennies.

\Delta\mathbf y_t\approx s_{1,t}\,\mathbf q_1+s_{2,t}\,\mathbf q_2+s_{3,t}\,\mathbf q_3,\qquad \operatorname{Var}(s_j)=\lambda_j

(1)

La première composante $\mathbf q_1$ a des chargements de même signe à toutes les échéances : quand elle est positive, toute la courbe se déplace vers le haut, ce que les opérateurs appellent le niveau (les chargements sont plus grands au milieu de la courbe qu'à l'extrémité courte, car les taux courts suivent plus étroitement le taux directeur). La deuxième change une fois de signe, le court terme dans un sens et le long terme dans l'autre : elle incline la courbe, c'est la pente. La troisième change deux fois de signe, les deux extrémités allant à l'opposé du milieu : elle courbe la courbe, c'est la courbure. Comme la courbe est lisse, trois scores reconstruisent presque chaque mouvement quotidien, et l'on peut couvrir une position contre ces trois risques au lieu d'une douzaine de rendements séparés. Faites l'ACP sur les variations de rendement, pas sur les niveaux : les niveaux sont persistants et presque non stationnaires, et leur première composante ne ferait que suivre la lente dérive du taux moyen.

Ce que disent 5 158 jours de boursePrenons les variations quotidiennes de dix rendements du Trésor (de 3 mois à 30 ans) de mars 2006 à octobre 2026. Les composantes principales expliquent

75{,}6\ \%

13{,}7\ \%

6{,}3\ \%

de la variance, soit

95{,}5\ \%

ensemble, et la quatrième n'ajoute que

1{,}9\ \%

. Le chargement de la deuxième va d'environ

-0{,}54

à 3 mois à

+0{,}32

à 30 ans, c'est une pente ; celui de la troisième est

+0{,}60

à 3 mois, environ

-0{,}40

à 2 ans et

+0{,}37

à 30 ans, c'est une courbure. Un mouvement de scores

(5;-2;1)

points de base change le rendement à 10 ans de

5(0{,}4)-2(0{,}2)+1(0{,}1)=1{,}7

point de base, si ses trois chargements valent

0{,}4

0{,}2

0{,}1

Niveau : tous les chargements ont le même signe ; toute la courbe monte ou descend ensemble.
Pente : les chargements changent une fois de signe ; les extrémités courte et longue vont en sens contraires.
Courbure : les chargements changent deux fois de signe ; les extrémités vont à l'opposé du milieu.

Utilisez les variations, pas les niveauxComme les rendements suivent des tendances pendant des années, l'ACP des niveaux rapporte surtout cette tendance et les chargements dérivent avec la période d'échantillon. Les différences l'éliminent. La même logique vaut pour les prix : utilisez les rendements. Note sur les données : le rendement à 30 ans n'a pas été publié de février 2002 à février 2006 ; les données du labo commencent donc après cette lacune, et les barres utilisées plus tard sont des prix ajustés, biaisés par la survie.

Lab : ce qui est noté

Nommer les composantes15 pts
Variance expliquée par trois composantes15 pts
Reconstruire un mouvement de rendement15 pts
Combien de composantes10 pts
Niveaux ou variations15 pts
Ce que laisse une couverture à un facteur15 pts
Pourquoi si peu de facteurs15 pts

Toute une courbe de taux en trois nombres

\Delta\mathbf y_t\approx s_{1,t}\,\mathbf q_1+s_{2,t}\,\mathbf q_2+s_{3,t}\,\mathbf q_3,\qquad \operatorname{Var}(s_j)=\lambda_j

(1)

Ce que disent 5 158 jours de boursePrenons les variations quotidiennes de dix rendements du Trésor (de 3 mois à 30 ans) de mars 2006 à octobre 2026. Les composantes principales expliquent

75{,}6\ \%

13{,}7\ \%

6{,}3\ \%

de la variance, soit

95{,}5\ \%

ensemble, et la quatrième n'ajoute que

1{,}9\ \%

. Le chargement de la deuxième va d'environ

-0{,}54

à 3 mois à

+0{,}32

à 30 ans, c'est une pente ; celui de la troisième est

+0{,}60

à 3 mois, environ

-0{,}40

à 2 ans et

+0{,}37

à 30 ans, c'est une courbure. Un mouvement de scores

(5;-2;1)

points de base change le rendement à 10 ans de

5(0{,}4)-2(0{,}2)+1(0{,}1)=1{,}7

point de base, si ses trois chargements valent

0{,}4

0{,}2

0{,}1

Niveau : tous les chargements ont le même signe ; toute la courbe monte ou descend ensemble.
Pente : les chargements changent une fois de signe ; les extrémités courte et longue vont en sens contraires.
Courbure : les chargements changent deux fois de signe ; les extrémités vont à l'opposé du milieu.

Lab : ce qui est noté

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Variance expliquée par trois composantes15 pts
Reconstruire un mouvement de rendement15 pts
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Ce que laisse une couverture à un facteur15 pts
Pourquoi si peu de facteurs15 pts

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