L'ACP à partir de zéro

Trouver les directions de plus grande variance

L'analyse en composantes principales cherche la direction unique selon laquelle un nuage de données varie le plus, puis la direction suivante à angle droit avec elle, et ainsi de suite. Pour les rendements de $N$ actifs, ce nuage vit en dimension $N$ et se regarde mal, mais ses directions principales classent les sources indépendantes de risque. La recette est courte : centrer chaque colonne, former la matrice de covariance, prendre ses vecteurs propres, les trier par valeur propre et projeter les données sur les premiers.

\Sigma=\frac{1}{T-1}X_c^{T}X_c=Q\Lambda Q^{T},\qquad Z=X_cQ,\qquad \operatorname{Var}(z_j)=\lambda_j,\qquad s_j=\frac{\lambda_j}{\sum_i\lambda_i}

(1)

Ici $X_c$ est la matrice $T\times N$ des rendements centrés, les colonnes de $Q$ sont les directions principales (chargements) et celles de $Z$ les scores, c'est-à-dire les données dans les nouvelles coordonnées. Les scores sont non corrélés et la variance du $j$ -ième vaut $\lambda_j$ : les valeurs propres partagent donc exactement la variance totale $\operatorname{tr}\Sigma$ . Le signe des directions est arbitraire : $\mathbf q$ et $-\mathbf q$ désignent la même droite. Deux précautions : le centrage compte, car sans lui la première direction pointe en partie vers la moyenne ; les unités aussi : l'ACP d'une matrice de covariance est dominée par les variables les plus volatiles, donc quand les variables n'ont pas la même échelle, on les standardise d'abord, c'est-à-dire que l'on travaille sur la matrice de corrélation.

Deux actifs à la mainDeux actifs ont pour matrice de covariance

\Sigma=\begin{pmatrix}4&2\\2&3\end{pmatrix}

. La trace vaut 7 et le déterminant 8, donc

\lambda^2-7\lambda+8=0

\lambda=(7\pm\sqrt{17})/2

, soit

5{,}562

1{,}438

. La première composante explique donc

5{,}562/7=79{,}5\ \%

de la variance totale. Sa direction résout

(4-5{,}562)q_1+2q_2=0

, d'où

\mathbf q_1\approx(0{,}788;0{,}615)

au signe près. Une observation centrée

(1,1)

a un premier score de

0{,}788+0{,}615=1{,}403

en valeur absolue. Les deux chargements ont le même signe : cette composante est une moyenne pondérée des deux actifs.

Recette : centrer, covariance, décomposition propre, tri par valeur propre, projection sur les premières directions.
Scores : non corrélés, de variance $\lambda_j$ ; la part expliquée vaut $\lambda_j/\sum\lambda_i$ .
Précautions : les signes sont arbitraires ; centrer les données ; standardiser si les unités diffèrent (matrice de corrélation).

Ce que disent les vrais rendements d'actionsPour les rendements quotidiens de douze grandes actions américaines depuis 2010 (4 184 jours), la première composante principale de la matrice de corrélation explique environ 40 % de la variance et toutes les actions y ont un chargement de même signe : c'est le marché. La deuxième en explique environ 12 % et sépare les actions en groupes, technologie contre valeurs défensives. Les dix autres se partagent les 48 % restants et se distinguent bien plus difficilement du bruit, ce qui est le sujet des leçons suivantes.

Lab : ce qui est noté

La recette de l'ACP15 pts
La première valeur propre15 pts
La part expliquée15 pts
Un score15 pts
Quand standardiser15 pts
Faits sur les scores10 pts
Pourquoi centrer les données15 pts

Trouver les directions de plus grande variance

\Sigma=\frac{1}{T-1}X_c^{T}X_c=Q\Lambda Q^{T},\qquad Z=X_cQ,\qquad \operatorname{Var}(z_j)=\lambda_j,\qquad s_j=\frac{\lambda_j}{\sum_i\lambda_i}

(1)

Deux actifs à la mainDeux actifs ont pour matrice de covariance

\Sigma=\begin{pmatrix}4&2\\2&3\end{pmatrix}

. La trace vaut 7 et le déterminant 8, donc

\lambda^2-7\lambda+8=0

\lambda=(7\pm\sqrt{17})/2

, soit

5{,}562

1{,}438

. La première composante explique donc

5{,}562/7=79{,}5\ \%

de la variance totale. Sa direction résout

(4-5{,}562)q_1+2q_2=0

, d'où

\mathbf q_1\approx(0{,}788;0{,}615)

au signe près. Une observation centrée

(1,1)

a un premier score de

0{,}788+0{,}615=1{,}403

en valeur absolue. Les deux chargements ont le même signe : cette composante est une moyenne pondérée des deux actifs.

Recette : centrer, covariance, décomposition propre, tri par valeur propre, projection sur les premières directions.
Scores : non corrélés, de variance $\lambda_j$ ; la part expliquée vaut $\lambda_j/\sum\lambda_i$ .
Précautions : les signes sont arbitraires ; centrer les données ; standardiser si les unités diffèrent (matrice de corrélation).

Lab : ce qui est noté

La recette de l'ACP15 pts
La première valeur propre15 pts
La part expliquée15 pts
Un score15 pts
Quand standardiser15 pts
Faits sur les scores10 pts
Pourquoi centrer les données15 pts

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