分散が最大の方向を見つける
主成分分析は、データの雲が最も大きくばらつく1つの方向を求め、次にそれと直角な次の方向を求め、というように続けます。 個の資産のリターンの雲は 次元にあって見づらいものの、主方向は独立なリスク源を順位付けします。手順は短く、各列を中心化し、共分散行列を作り、固有ベクトルを固有値順に並べ、先頭のものにデータを射影します。
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ここで は中心化したリターンの 行列、 の列は主方向（ローディング）、 の列はスコア、つまり新しい座標でのデータです。スコアは無相関で、 番目の分散は なので、固有値は全分散 をちょうど分け合います。方向の符号は任意で、 と は同じ直線です。注意が2つあります。中心化が重要で、しないと第1方向の一部が平均を向きます。単位も重要で、共分散行列のPCAは最も変動の大きい変数に支配されるため、尺度が異なる変数は先に標準化します。つまり相関行列で行います。
2資産を手計算で2つの資産の共分散行列が だとします。トレースは7、行列式は8なので 、、すなわち と です。第1成分は全分散の を説明します。方向は を解いて符号を除き 。中心化した観測値 の第1スコアは絶対値で です。両方のローディングが同符号なので、この成分は2資産の加重平均です。
- 手順：中心化、共分散、固有分解、固有値順に並べ、上位の方向に射影。
- スコア：無相関で分散は 、寄与率は 。
- 注意：符号は任意。データを中心化。単位が違うなら標準化（相関行列）。
実際の株式リターンが語ること2010年以降の米大型株12銘柄の日次リターン（4,184日）では、相関行列の第1主成分が分散の約40%を説明し、すべての銘柄が同符号で負荷します。これが市場です。第2成分は約12%で、銘柄をテクノロジーとディフェンシブのグループに分けます。残りの10個が残り48%を分け合い、ノイズとの区別がずっと難しくなります。これが次のレッスンの主題です。
ラボ：採点される内容
- PCAの手順15点
- 第1固有値15点
- 寄与率15点
- スコア15点
- 標準化すべき場面15点
- スコアの事実10点
- なぜデータを中心化するのか15点