تحليل المكونات الرئيسية من الصفر

إيجاد اتجاهات أكبر تباين

يبحث تحليل المكونات الرئيسية عن الاتجاه الوحيد الذي تتباين فيه سحابة البيانات أكثر، ثم عن الاتجاه التالي المتعامد معه، وهكذا. وسحابة عوائد $N$ أصلًا تعيش في $N$ بعدًا ويصعب النظر إليها، لكن اتجاهاتها الرئيسية ترتّب مصادر المخاطرة المستقلة. والوصفة قصيرة: اطرح متوسط كل عمود، وكوّن مصفوفة التباين المشترك، وخذ متجهاتها الذاتية ورتّبها بحسب القيم الذاتية، وأسقط البيانات على الأوائل منها.

\Sigma=\frac{1}{T-1}X_c^{T}X_c=Q\Lambda Q^{T},\qquad Z=X_cQ,\qquad \operatorname{Var}(z_j)=\lambda_j,\qquad s_j=\frac{\lambda_j}{\sum_i\lambda_i}

(1)

هنا $X_c$ مصفوفة $T\times N$ من العوائد المطروح منها المتوسط، وأعمدة $Q$ هي الاتجاهات الرئيسية (الأحمال) وأعمدة $Z$ هي الدرجات أي البيانات في الإحداثيات الجديدة. الدرجات غير مترابطة وتباين الـ $j$ منها $\lambda_j$ ، فتقتسم القيم الذاتية التباين الكلي $\operatorname{tr}\Sigma$ تمامًا. وإشارة الاتجاه اعتباطية: $\mathbf q$ و $-\mathbf q$ المستقيم نفسه. وهناك تنبيهان. الطرح من المتوسط مهم لأنه من دونه يشير الاتجاه الأول جزئيًا إلى المتوسط. والوحدات مهمة أيضًا: يهيمن على تحليل مصفوفة التباين المشترك المتغيرات الأكثر تقلبًا، فحين تختلف مقاييس المتغيرات تُعيَّر أولًا أي يُعمل على مصفوفة الارتباط.

أصلان يدويًالأصلين مصفوفة تباين مشترك

\Sigma=\begin{pmatrix}4&2\\2&3\end{pmatrix}

. الأثر 7 والمحدد 8 فتكون

\lambda^2-7\lambda+8=0

\lambda=(7\pm\sqrt{17})/2

أي

5.562

1.438

. فيفسّر المكوّن الأول

5.562/7=79.5\%

من التباين الكلي. واتجاهه يحل

(4-5.562)q_1+2q_2=0

فيعطي

\mathbf q_1\approx(0.788,0.615)

بتجاهل الإشارة. وللمشاهدة المطروح منها المتوسط

(1,1)

درجة أولى قيمتها المطلقة

0.788+0.615=1.403

. وللحملين الإشارة نفسها فالمكوّن متوسط موزون للأصلين.

الوصفة: اطرح المتوسط، كوّن التباين المشترك، حلّل ذاتيًا، رتّب بحسب القيم الذاتية، أسقط على الاتجاهات الأولى.
الدرجات: غير مترابطة وتباينها $\lambda_j$ ؛ والنسبة المفسَّرة $\lambda_j/\sum\lambda_i$ .
تنبيهات: الإشارات اعتباطية؛ اطرح المتوسط؛ عيّر البيانات إن اختلفت الوحدات (مصفوفة الارتباط).

ماذا تقول عوائد الأسهم الحقيقيةفي العوائد اليومية لاثني عشر سهمًا أمريكيًا كبيرًا منذ 2010 (4184 يومًا) يفسّر المكوّن الرئيسي الأول لمصفوفة الارتباط نحو 40% من التباين وتحمّل كل الأسهم عليه بالإشارة نفسها: إنه السوق. ويفسّر الثاني نحو 12% ويقسم الأسهم إلى مجموعات، التكنولوجيا مقابل الأسماء الدفاعية. وتتقاسم العشرة الباقية الـ48% الأخرى ويصعب جدًا تمييزها من الضجيج، وهذا موضوع الدروس التالية.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

وصفة تحليل المكونات الرئيسية15 نقطة
القيمة الذاتية الأولى15 نقطة
النسبة المفسَّرة15 نقطة
درجة15 نقطة
متى نعيّر البيانات15 نقطة
حقائق عن الدرجات10 نقطة
لماذا نطرح المتوسط15 نقطة

إيجاد اتجاهات أكبر تباين

\Sigma=\frac{1}{T-1}X_c^{T}X_c=Q\Lambda Q^{T},\qquad Z=X_cQ,\qquad \operatorname{Var}(z_j)=\lambda_j,\qquad s_j=\frac{\lambda_j}{\sum_i\lambda_i}

(1)

أصلان يدويًالأصلين مصفوفة تباين مشترك

\Sigma=\begin{pmatrix}4&2\\2&3\end{pmatrix}

. الأثر 7 والمحدد 8 فتكون

\lambda^2-7\lambda+8=0

\lambda=(7\pm\sqrt{17})/2

أي

5.562

1.438

. فيفسّر المكوّن الأول

5.562/7=79.5\%

من التباين الكلي. واتجاهه يحل

(4-5.562)q_1+2q_2=0

فيعطي

\mathbf q_1\approx(0.788,0.615)

بتجاهل الإشارة. وللمشاهدة المطروح منها المتوسط

(1,1)

درجة أولى قيمتها المطلقة

0.788+0.615=1.403

. وللحملين الإشارة نفسها فالمكوّن متوسط موزون للأصلين.

الوصفة: اطرح المتوسط، كوّن التباين المشترك، حلّل ذاتيًا، رتّب بحسب القيم الذاتية، أسقط على الاتجاهات الأولى.
الدرجات: غير مترابطة وتباينها $\lambda_j$ ؛ والنسبة المفسَّرة $\lambda_j/\sum\lambda_i$ .
تنبيهات: الإشارات اعتباطية؛ اطرح المتوسط؛ عيّر البيانات إن اختلفت الوحدات (مصفوفة الارتباط).

المختبر: ما الذي يُقيَّم

وصفة تحليل المكونات الرئيسية15 نقطة
القيمة الذاتية الأولى15 نقطة
النسبة المفسَّرة15 نقطة
درجة15 نقطة
متى نعيّر البيانات15 نقطة
حقائق عن الدرجات10 نقطة
لماذا نطرح المتوسط15 نقطة

تحليل المكونات الرئيسية من الصفر

إيجاد اتجاهات أكبر تباين

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.

تحليل المكونات الرئيسية من الصفر

إيجاد اتجاهات أكبر تباين

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.