Position in der SkillModul 3 von 5 · Thema 2 von 3
3.2 PCA von Grund auf
—Lab-Punkte— / 100XP gesamt—Serie—
Die Richtungen größter Varianz finden
Die Hauptkomponentenanalyse sucht die eine Richtung, in der eine Datenwolke am stärksten variiert, dann die nächste dazu senkrechte Richtung und so weiter. Für Renditen von N Anlagen lebt die Wolke in N Dimensionen und ist schwer zu betrachten, aber ihre Hauptrichtungen ordnen die unabhängigen Risikoquellen. Das Rezept ist kurz: jede Spalte zentrieren, die Kovarianzmatrix bilden, ihre Eigenvektoren nehmen, nach Eigenwert sortieren und die Daten auf die führenden projizieren.
Hier ist Xc die T×N-Matrix zentrierter Renditen, die Spalten von Q sind die Hauptrichtungen (Ladungen) und die Spalten von Z die Scores, die Daten in den neuen Koordinaten. Die Scores sind unkorreliert, und die Varianz des j-ten ist λj; die Eigenwerte teilen also die Gesamtvarianz trΣ exakt auf. Das Vorzeichen der Richtungen ist beliebig: q und −q sind dieselbe Gerade. Zwei Warnungen gelten. Zentrieren ist wichtig, denn sonst zeigt die erste Richtung teilweise auf den Mittelwert. Auch Einheiten sind wichtig: Die PCA einer Kovarianzmatrix wird von den volatilsten Variablen dominiert, bei unterschiedlichen Skalen standardisiert man also zuerst, das heißt, man arbeitet mit der Korrelationsmatrix.
Zwei Anlagen von HandZwei Anlagen haben die Kovarianzmatrix Σ=(4223). Die Spur ist 7, die Determinante 8, also λ2−7λ+8=0 und λ=(7±17)/2, das heißt 5,562 und 1,438. Die erste Komponente erklärt daher 5,562/7=79,5% der Gesamtvarianz. Ihre Richtung löst (4−5,562)q1+2q2=0 und ergibt q1≈(0,788;0,615) bis aufs Vorzeichen. Eine zentrierte Beobachtung (1,1) hat den ersten Score 0,788+0,615=1,403 im Betrag. Beide Ladungen haben dasselbe Vorzeichen, diese Komponente ist also ein gewichteter Mittelwert beider Anlagen.
Rezept: zentrieren, Kovarianz, Eigenzerlegung, nach Eigenwert sortieren, auf die ersten Richtungen projizieren.
Scores: unkorreliert mit Varianz λj; der erklärte Anteil ist λj/∑λi.
Warnungen: Vorzeichen sind beliebig; Daten zentrieren; bei verschiedenen Einheiten standardisieren (Korrelationsmatrix).
Was echte Aktienrenditen sagenBei den Tagesrenditen von zwölf großen US-Aktien seit 2010 (4184 Tage) erklärt die erste Hauptkomponente der Korrelationsmatrix etwa 40 % der Varianz, und jede Aktie lädt mit demselben Vorzeichen darauf: Es ist der Markt. Die zweite erklärt etwa 12 % und teilt die Aktien in Gruppen, Technologie gegen defensive Werte. Die übrigen zehn teilen sich die anderen 48 % und sind viel schwerer vom Rauschen zu unterscheiden, was das Thema der nächsten Lektionen ist.
Lab: Was bewertet wird
Das PCA-Rezept15 Pkt.
Der erste Eigenwert15 Pkt.
Der erklärte Anteil15 Pkt.
Ein Score15 Pkt.
Wann man standardisiert15 Pkt.
Fakten über Scores10 Pkt.
Warum die Daten zentrieren15 Pkt.
0/ 7 beantwortet
1Schritte ordnen15 Pkt.Nicht beantwortet
Bringen Sie die Schritte der PCA auf einer Renditematrix in die richtige Reihenfolge.
Zum Umsortieren ziehen, oder ein Element fokussieren, mit Leertaste anheben, mit Pfeiltasten bewegen und mit Leertaste ablegen.
1Die zentrierten Daten auf die führenden Eigenvektoren projizieren, um Scores zu erhalten
2Die Kovarianzmatrix bilden
3Die Eigenpaare nach fallendem Eigenwert sortieren
4Den Mittelwert jeder Spalte abziehen
5Die Eigenvektoren und Eigenwerte dieser Matrix berechnen
2Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet
Bestimmen Sie den größeren Eigenwert von Σ=(4223) (Spur 7, Determinante 8). Geben Sie drei Nachkommastellen an.
lambda1=akzeptiert: ± 0.005
3Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet
Wie viel Prozent der Gesamtvarianz erklärt die erste Komponente? Geben Sie eine Nachkommastelle an.
share=akzeptiert: ± 0.1
4Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet
Die erste Richtung ist q1=(0,788;0,615). Wie groß ist der Betrag des ersten Scores der zentrierten Beobachtung (1,1)? Geben Sie drei Nachkommastellen an.
score=akzeptiert: ± 0.003
5Auswahl15 Pkt.Nicht beantwortet
Es wird die PCA der Kovarianzmatrix einer Aktie mit 30 % Volatilität und zehn Anleihefonds mit 3 % Volatilität ausgeführt. Was passiert, und was ist die Abhilfe?
6Auswahl10 Pkt.Nicht beantwortet
Wählen Sie alle wahren Aussagen über PCA-Scores und -Ladungen.
7In Worten erklären15 Pkt.Nicht beantwortet
Sagen Sie in ein bis zwei Sätzen, warum die Daten vor der Berechnung der Hauptkomponenten zentriert werden müssen.
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